Matematik
Bestem en ligning for cirklen
Bestem ligningen for den cirkel, der går gennem punktet (10;2), og som tangerer linien med ligningen 2x+3y = 18 i punktet (3;4).
Det jeg har fundet ud af:
Cirklens centrum ligger på linien gennem punktet (3;4) med retningsvektoren p = [2;3]. Dette betyder centrum også ligger på midtnormalen gennem de to punkter (10;2) og (3;4). Cirklens centrum er altså skæringspunktet mellem de to rette linier.
Den ene linie er linien vinkelret på tangenten i punktet (3;4).
Den anden linie er midtnormalen gennem de to punkter (10;2) og (3;4).
Mit spørgsmål er så bare, hvordan jeg bestemmer de to linjer? Ved den første linje ved jeg at den er ortogonal, og at hældningskoefficienten for linjen derfor skal være = -1, når man ganger den med hældningskoefficienten for linjen 2x+3y=18
hvordan regner jeg så resten ud?
Svar #1
11. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
Fremgangsmåden er helt korrekt.
Linien vinkelret på tangenten har tangentens normalvektor som retningsvektor. Den har da parameterfremstillingen
[x , y] = [3 ; 4] + t·[2 ; 3] , t ∈ R ,
eller ligningen
y = 4 + 3·(x-3)/2
Midtnormalen for liniestykket fra A(10;2) til B(3;4) går gennem punktet M bestemt ved
OM = (OA + OB)/2 = [13/2 ; 3]
og den har vektoren AB = [-7 ; 2] som normalvektor, så den har ligningen
-7·(x - 13/2) + 2·(y - 3) = 0 .
Find nu skæringspunktet mellem de to linier.
Svar #2
11. februar 2015 af ztuema (Slettet)
Så, y = (3/4)x - 3/4, er ligningen for den linje der er ortogonal på linjen 2x+3y = 18?
-7·(x - 13/2) + 2·(y - 3) = 0 .
-7x + 91/2 + 2y - 6 = 0
2y = 7x - 91/2 + 6
y = (7x-103/2)/2
Er centrum så der hvor de to linjer skærer hinanden?
Og radius afstanden fra C til punktet (3,4)?
Svar #3
11. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#2
Nej, ligningen for linien vinkelret på tangenten er jo
y = 4 + 3·(x-3)/2 = (3/2)x - (1/2)
Ja, centrum er skæringspunktet mellem de to linier. Ligningen for den anden linie har du ikke reduceret korrekt.
-7·(x - 13/2) + 2·(y - 3) = 0
giver
-7x + (91/2) + 2y - 6 = 0
eller
2y = 7x -(79/2)
Svar #4
18. juli 2015 af Soeffi
CAS konstruktion (r = 53·(√13)/16 = 11,94):
Skriv et svar til: Bestem en ligning for cirklen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.