differentialregning

A1

Tegn tangenten til grafen i punktet x=2, og aflæs dennes hældningskoefficient.

A2

f '(x) = 6x + 2/x

Indsæt x=2 i formlen for f '(x).

A3

f '(x) = 3x² + 2x

Tangentens ligning er

y = f '(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

Indsæt x₀=1

A4

f '(x) = 2e^2x + 3

Se om ligningen f '(x) = -1 har nogle løsninger.

A5

f '(t) = ½ * 2,4 / √t = 1,2/√t

Find f '(4).

A6

a) Løs ligningen f(x) = 50, og læg den fundne værdi af x til 1800, så har du årstallet.

b)

f(x) = 198*(1 + 36,2*e^-0,0313x)^-1

f '(x) = 198*(-1)*(1 + 36,2*e^-0,0313x)^-2 * 36,2*(-0,0313)*e^-0,0313x =

224,3 * e^-0,0313x * (1 + 36,2*e^-0,0313x)^-2

Find f '(125).

A7

a)

f '(x) = -3x² + 3x + 6

Indsæt x₀ = 3 i tangentens ligning.

b)

t's hældningskoefficient er f '(3) = -12.

Løs f '(x) = -12. Der er to løsninger x=3 og x=-2. Koordinatsættet er så (-2, f(-2))

#1

A4 . FUnktionen er f(x) = e^2x - 3x , så f '(x) = 2e^2x - 3 , hvorfor ligningen f '(x) = -1 faktisk har en løsning.

A6. b) Alternativt: Funktionen f(x) er en løsning til den logistiske differentialligning

        y' = (0,0313/198)·y·(198 - y)

Befolkningstallets væksthastighed i 1925 (x = 125) kan derfor også beregnes som

        f '(125) = (0,0313/198)·f(125)·(198 - f(125))

#2

A4. Jeg får f '(x₀) = 0

Er det korrekt?

A6. Hvad er y'? Det er jeg ikke stødt på i min bog. Vil du evt. skrive hele udregningen, da jeg ikke ved hvilke tal jeg skal sætte ind i formlen?

#3

A4. Nej, det er ikke korrekt. Man skal løse ligningen f '(x) = -1 , dvs 2e^2x - 3 = -1 , der har løsningen x = 0 .

A6. y er en funktion af x, dvs. y(x) , der er løsning til differentialligningen. Hvis man så har beregnet f(125), kan man direkte beregne f '(125) ved udtrykket i #2.

#4

Det var også det jeg mente, at f '(0)= -1

Så du bruger y i stedet for f(x) og y' i stedet for f '(x)?