Løsning af 4. ordens differentialligning

Højresiden er blot en konstant, så der er tale om en lineær differentialligning med konstante koefficenter.

#1

Jeg får den homogene løsning til at være:

y_H = e^λ1x + e^λ2x + e^λ3x + e^λ4x

hvor:

λ1 = √(K₃/(2K₂) - √(4K₁K₂ + K₃²)/(2K₂))

λ2 = -√(K₃/(2K₂) - √(4K₁K₂ + K₃²)/(2K₂))

λ3 = √(K₃/(2K₂) + √(4K₁K₂ + K₃²)/(2K₂))

λ4 = -√(K₃/(2K₂) + √(4K₁K₂ + K₃²)/(2K₂))

Den inhomogene løsning giver blot:

y_P = k = K₄/K₁

Er det ikke korrekt?

#2

Jo, det ser rigtigt ud.

#3

Ok, tak.

#3

Kan det virkelig passe, at man ikke kan finde en løsning, når man har følgende randbetingelser:

y(-L/2) = 0

y(L/2) = 0

y'(0) = 0

y''(L/2) = 0

hvor L er en konstant? Jeg har prøvet med mathcad og diverse texas instrumenter uden held.

#5

I #2 skal den homogene løsning jo være

        y_H = c₁·e^λ1x + c₂·e^λ2x + c₃·e^λ3x + c₄·e^λ4x

så den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning er

        y = c₁·e^λ1x + c₂·e^λ2x + c₃·e^λ3x + c₄·e^λ4x + K₄/K₁

hvor K₄ = _-L/2∫^L/2 y dx

#6

Jo, men jeg er interesseret i den partikulære løsning med randbetingelserne:

y(-L/2) = 0

y(L/2) = 0

y'(0) = 0

y''(L/2) = 0

Det ser umiddelbart ud til, at man ikke kan bestemme konstanterne (c₁, c₂, c₃ og c₄) således randbetingelserne er opfyldt. Kan det virkelig passe?

Anyone?

#8

I almindelighed vil der kun være løsningen c₁ = c₂ = c₃ = c₄ = 0 .

Indsættes den generelle løsning

        y = c₁·e^λ1x + c₂·e^λ2x + c₃·e^λ3x + c₄·e^λ4x + K4

i differentialligningen, får man betingelsen for K₄:

        K₄ = K₃/K₁·(c₁/λ₁(e^λ₁L/2 - e^-λ₁L/2) + c₂/λ₂(e^λ₂L/2 - e^-λ₂L/2) + c₃/λ₃(e^λ₃L/2 - e^-λ₃L/2) + c₄/λ₄(e^λ₄L/2 - e^-λ₄L/2))

De øvrige betingelser giver ligningerne

        c₁·e^-λ₁L/2 + c₂·e^-λ₂L/2 + c₃·e^-λ₃L/2 + c₄·e^-λ₄L/2 + K₄ = 0

        c₁·e^λ₁L/2 + c₂·e^λ₂L/2 + c₃·e^λ₃L/2 + c₄·e^λ₄L/2 + K₄ = 0

        c₁·λ₁ + c₂·λ₂ + c₃·λ₃ + c₄·λ₄ = 0

        c₁·λ₁²·e^λ₁L/2 + c₂·λ₂²·e^λ₂L/2 + c₃·λ₃²·e^λ₃L/2 + c₄·λ₄²·e^λ₄L/2 = 0

Da K₄ kan udtrykkes som en linearkombination af c₁, c₂, c₃, c₄ , er der altså tale om et homogent, lineært ligningssystem i c₁, c₂, c₃, c₄ , der kun har den trivielle løsning c₁ = c₂ = c₃ = c₄ = 0 , hvis systemets determinant er forskellig fra 0.

#9

Der skulle stå K₄/K₁ i sidste led i den generelle løsning, ikke?

Der er altså ikke andre løsninger end den trivielle løsning?

#10

Jeg ændrede tilsyneladende definitionen af K₄ i #9 i forhold til tidligere. Det spiller vel ikke den store rolle? Med mindre λ-konstanterne lige netop få determinanten til at være 0, er der kun den trivielle løsning.

#11

Ok, tak.

#11

Jeg har prøvet at ændre randbetingelserne til følgende:

y(0) = 0

y''(0) = 0

y(L) = 0

y''(L) = 0

og jeg får MathCad til at give mig følgende koefficienter (med K = K₄/K₁):

hvor (MathCad vs. rigtig betegnelse) λ₁ = λ₁, -λ₁ = λ₂, λ₂ = λ₃ og -λ₂ = λ₄.

Løsningen er altså i form af:

y(x) = Ae^λ1x + Be^λ2x + Ce^λ3x + De^λ4x + K

Nu skulle jeg også sikre mig, at y'(L/2) = 0 var opfyldt. Differentierer jeg y(x) og sætter x = L/2, så giver y'(L/2) = 0, når jeg bruger "simplify" kommandoen. Jeg kan ikke helt se, hvordan det giver nul. Kan man se det?

#11

Har du set på det? :-)