Matematik

HJÆLP! Uendelige rækker bevis

15. maj 2015 af GuruRedox (Slettet) - Niveau: A-niveau

Er der nogen som kan forklare mig hvad der sker i hvert led i dette bevis?

Vedhæftet fil: uendelige rækker.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. maj 2015 af Therk

$\sum_{n=0}^\infty r^n = \lim_{K \rightarrow \infty} \bigg( \sum_{n=0}^K r^n \bigg)$

Den uendelige sum på venstre side er lig grænseværdien for den endelige sum, når antal summerede elementer går mod uendeligt. Intuitivt forstået: Når vi summerer K gange og lader K gå mod uendelig, så får vi netop venstre side.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

$\lim_{K \rightarrow \infty} \bigg( \sum_{n=0}^K r^n \bigg) = \lim_{K \rightarrow \infty} \left( \frac{r^{K+1}-1}{r-1} \right)$

Glem limes - ovenstående gælder også uden. Da er det, inde i parenteserne på venstre side, en endelig geometrisk række. Ovenstående er altså et resultat af det. Det er ikke svært at vise og du kan sagtens finde lette beviser på nettet for det.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

$\lim_{K \rightarrow \infty} \left( \frac{r^{K+1}-1}{r-1} \right) = \frac{\lim_{K \rightarrow \infty}r^{K+1}-1}{r-1}$

Kun det første led i tælleren ændres med limes - alt andet er blot konstant.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

$\frac{\lim_{K \rightarrow \infty}r^{K+1}-1}{r-1} = \frac{0-1}{1-r}$

Da r er numerisk strengt mindre end 1, må $r^K \rightarrow 0$ for $K \rightarrow \infty.$

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Det sidste lighedstegn er blot en fortegnsændring.

Skriv et svar til: HJÆLP! Uendelige rækker bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.