Matematik

Masse af et legeme

13. august 2015 af Shaolina (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa!

Jeg har brug for hjælp til de følgende to opgaver:

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. august 2015 af AskTheAfghan

For at vide hvordan legemet T ser ud, skal du bemærke at √(x² + y²) ≥ 0 for alle x,y∈ R_≥0. Da har vi en halvkugle over z-aksen. Dermed rummes legemet T mellem de to cirkelflader fra z = 0 til z = 2 i halvkuglen.

For at lave en skitse af figuren, kan du kigge på zy-planen (dvs. 1. akse er z og 2. akse er y). Bemærk at z² = x² + y², så ved zy-planen, har vi en funktion y = z² fra z = 0 til z = 2. Drejer man grafen for denne funktion omkring z-aksen fra z = 0 til z = 2, har man legemet T.

a) Se evt. http://mathinsight.org/triple_integral_examples for at have nogle ideer hvordan det skal laves.

b) Se evt. http://mathworld.wolfram.com/GeometricCentroid.html ved formel (12).

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. august 2015 af Soeffi

Google tegning af z = √(x²+y²).

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-08-13 at 11.34.15 AM.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. august 2015 af Soeffi

Graf for z=√(x²+y²)-2. Her skal det grå plan forestille z=2 og keglen skal forestille z=√(x²+y²).

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-08-13 at 11.42.03 AM.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. august 2015 af AskTheAfghan

#1
For at vide hvordan legemet T ser ud, skal du bemærke at √(x² + y²) ≥ 0 for alle x,y∈ R_≥0. Da har vi en halvkugle over z-aksen.

Det er en halvkugle, kun hvis der havde stået x² + y² frem for √(x² + y²). Min fejl. Se figurer i #2 + 3.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. august 2015 af Soeffi

CAS løsning.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-08-13 at 1.48.40 PM.png

Svar #6
13. august 2015 af Shaolina (Slettet)

Tak for svarene. Problemet er blot, at vi ikke må bruge lommeregner til denne her slags opgaver. De skal regnes i hånden, og det kan godt gøre det lidt besværligt mht. til illustrationen af figuren i en graf.

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. august 2015 af Soeffi

#6. I hånden (se i øvrigt #5):

a) Massen af T:

$\pi \int_{0}^{2}z^3dz=\pi \cdot \frac{1}{4} \left [x^4 \right]^{2}_{0}= 4\pi$

b) Massemidtpunkt (0,0,m):

$\pi \cdot \frac{1}{4} \left [x^4 \right]^{m}_{0} = \pi \cdot \frac{1}{4} \left [x^4 \right]^{2}_{m} \Leftrightarrow 2m^4=2^4\Leftrightarrow m=2^{\frac{3}{4}}$

Svar #8
13. august 2015 af Shaolina (Slettet)

Ud fra facitlisten kan jeg se, at i opgave b skulle svaret være $\frac{8}{5}$ og ikke $2^{\frac{3}{4}}$ .

Jeg har fundet en formel i et kompendie, som siger følgende om massemidtpunktet $z_{m}$ :

$z_{m} = \frac{1}{m} \cdot \int z \delta dV$

Jeg er dog ikke helt sikker på, hvordan denne formel skal forstås.

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. august 2015 af Soeffi

#8 Ud fra facitlisten kan jeg se, at i opgave b skulle svaret være $\frac{8}{5}$ og ikke $2^{\frac{3}{4}}$ .

Hvad med a)?

Jeg har fundet en formel i et kompendie, som siger følgende om massemidtpunktet $z_{m}:$

$z_{m} = \frac{1}{m} \cdot \int z \delta dV$

Jeg er dog ikke helt sikker på, hvordan denne formel skal forstås.

Bogstavet m står nok for samlet masse (4π?).

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. august 2015 af Soeffi

#7 Rettelse: x -> z ...
a) Massen af T:

$\pi \int_{0}^{2}z^3dz=\pi \cdot \frac{1}{4} \left [z^4 \right]^{2}_{0}= 4\pi$

b) Massemidtpunkt (0,0,m):

$\pi \cdot \frac{1}{4} \left [z^4 \right]^{m}_{0} = \pi \cdot \frac{1}{4} \left [z^4 \right]^{2}_{m} \Leftrightarrow 2m^4=2^4\Leftrightarrow m=2^{\frac{3}{4}}$

Skriv et svar til: Masse af et legeme

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.