Matematik

Partiklens bane. Find V0

12. september 2015 af Kasperx - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har som opgave at finde start hastigheden på et projektil som affyres fra y0 = x0 = 0 med en vinkel på 45°, projektilet tilbagelægger en horizontal afstand på 1mi(1609,344m). Jeg kender svaret = 125,28m/s. Jeg har kigget på de parametriske ligninger af banen men jeg når ikke frem til det samme resultat.

Tak på forhånd!

Brugbart svar (2)

Svar #1
12. september 2015 af SuneChr

Projektilets højde som funktion af tiden er bestemt ved
y (t) = - ¹/₂gt² + (v₀·sin α)t
Projektilets horisontale afstand fra (0 ; 0) er bestemt ved
x (t) = (v₀·cos α)t
Nu skulle det være muligt ved indsættelse af det kendte at finde v₀ .

Brugbart svar (2)

Svar #2
12. september 2015 af Toonwire

Opgaven har at gøre med Balistiske Bevægelser, inden for hvilke du med fordel kan betragte partiklens bane ved hjælp af at se på bevægelsen i x-retningen, hhv. y-retningen (du bestemmer selv hvordan du lægger dit koordinatsystem).

Tyngdeaccelereationen er en konstant nedadvirkende kraft og skal således kun anvendes i y-retningen.
De to stedfunktioner, i hver af sin retning, findes som beskrevet nedenfor:

$\\x(t)=v_0\cdot cos(\alpha_0)\cdot t\\ y(t)=v_0\cdot sin(\alpha_0 )\cdot t-\begin{matrix} \frac{1}{2}\end{matrix}\cdot a\cdot t^2$

Siden du ikke kender tiden det tager for partiklen at tilbagelægge afstanden, er du nødt til at substituere denne faktor.

Da partiklen affyres fra og dermed må lande igen i kan vi omskrive ligningen:

$\\\Leftrightarrow ~~~0 =v_0\cdot sin(\alpha_0 )\cdot t-\begin{matrix} \frac{1}{2}\end{matrix}\cdot a\cdot t^2 ~~ \Leftrightarrow ~~ 0=v_0\cdot sin(\alpha_0 )-\begin{matrix} \frac{1}{2}\end{matrix}\cdot a\cdot t\\\\ \Leftrightarrow ~~ ~v_0\cdot sin(\alpha_0 )=\begin{matrix} \frac{1}{2}\end{matrix}\cdot a\cdot t$

Nu vender vi tilbage til stedfunktionen i x-retningen, for hvilken vi kender tilbagelagte afstand:

$\left.\begin{matrix} x(t)=1609.334 ~m~~~~~\\ x(t)=v_0\cdot cos(\alpha_0)\cdot t ~~ \end{matrix}\right\}~~ 1609.334~m =v_0\cdot cos(\alpha_0)\cdot t\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \Leftrightarrow~~ t=\frac{1609.334~m }{v_0\cdot cos(\alpha_0)}$

Du kan nu "slippe af med" tiden ved at insætte tilbage i :

$v_0\cdot sin(\alpha_0)=\frac{1}{2}\cdot g\cdot \left(\frac{1609.334~m}{v_0\cdot cos(\alpha_0)}\right)$

Isoler du bare initialhastigheden:

$\Leftrightarrow ~~~v_0=\sqrt{\frac{g\cdot 1609.334~m}{sin(2\cdot \alpha_0)}}$

Insæt nu din kendte vinkel på 45 grader (nem sinusfunktion):

$\Rightarrow ~~~v_0=\sqrt{\frac{9.82 ~\begin{matrix}\frac{m}{s^2} \end{matrix}\cdot 1609.334~m}{sin(2\cdot 45^\circ)}} =\sqrt{9.82 ~\begin{matrix}\frac{m}{s^2} \end{matrix}\cdot 1609.334~m}=\underline{\underline{125.713~\begin{matrix} \frac{m}{s}\end{matrix}}}$

Svar #3
12. september 2015 af Kasperx

I skal have tusind tak! :-))

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Den vandrette komposant, v_v af hastigheden er v₀ cos(45º). Tiden, T, det tager at komme fra start til slut, er l/v_v.

Den lodrette komposant, v_l af hastigheden er v₀ sin(45º). Tiden, det tager at komme op til toppunktet af kurven er den samme som tiden til at tyngdeaccelerationen reducerer v_l til 0. Da kurven er symmetrisk, er denne tid halvdelen af rejsetiden T: T/2 = v_l/g.

Heraf fås:

2v_l/g = l/v_v

Ved indsættelse af udtrykkene for de to komponenter:

2v₀sin(45º)/g = I/(v₀cos(45º))

v₀² = lg/(2sin(45º)cos(45º))

Indsæt værdierne og regn resultatet ud.

Skriv et svar til: Partiklens bane. Find V0

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.