Matematik

Den fuldstændige løsning

14. september 2015 af Amandaolesen123 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej (: Jeg skal finde ud af:

For hvilke tal t har det homogene ligningssystem med koefficientmatricen

A =

1 1 1

1 2t 1

1 1 t

en entydig løsning? Find den fuldstændige løsning til systemet for alle værdier af t.

Jeg har fundet ud af at ligningssytemets har en entydig løsning når det(A) ≠ 0, dvs. når t=1 og t=½.

Men jeg kan ikke rigtig finde ud af, hvordan jeg skal bestemme den fuldstændige løsning til systemet for alle værdier af t?

Håber jeg kan få lidt hjælp

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Du skal løse det homogene ligningssystem

$\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1&2t &1 \\ 1 & 1 &t \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

Svar #2
14. september 2015 af Amandaolesen123 (Slettet)

Gør jeg det ved at indsætte t=1 og t=½, som er de entydige løsninger?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Nej. ikke som løsninger.

Du kan benytte 4 forskellige metoder. Du kan opskrive tre nye determinanter, hvor du har erstattet én af søjlerne med højresiden. Pladsen at denne søjle svarer så til én af de tre ubekendte:

$D_{x}= \begin{vmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 & 2t &1 \\ 0 & 1 & t \end{vmatrix}$

Du har så x = D_x/D.

Tilsvarende for de tre andre variable.

Svar #4
14. september 2015 af Amandaolesen123 (Slettet)

Sådan her?:

L1: 0+x₂+x₃

L2: 0+2t*x2?+x3

L3 0+x2+tx3

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Nej, regn determinanterne ud.

Svar #6
14. september 2015 af Amandaolesen123 (Slettet)

Hmm.. nu skriver jeg hvad der står i min bog om hvordan man skal beregne determinanten:

Det(D)=

a₁₁a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂a₃₃

=a₁₁ a₂₂ a₃₃+ a₁₂ a₂₃ a₃₁+ a₁₃ a₂₁ a₃₂- a₁₃ a₂₂ a₃₁- a₁₂ a₂₁ a₃₃- a₁₁ a₂₃ a₃₂

=0*2t*t + 1*1*0 + 1*0*1 - 1*2t*0 - 1*0*t - 0*1*1

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Ja, bortset fra, at det er den determinant, jeg har kaldt D_x. Så mangler du udregningen x=D_x/D og tilsvarende for y og z. Jeg tror resultetet vil overraske dig.

Svar #8
15. september 2015 af Amandaolesen123 (Slettet)

Hvad er D?

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Determinanten, hvor der ikke er skiftet en søjle ud. Du behøver faktisk ikke at kende værdien i dette tilfælde, du skal blot vide, at den ikke er 0.

Svar #10
16. september 2015 af Amandaolesen123 (Slettet)

Jeg forstår ikke det her. Jeg kunne bestemme x fordi jeg havde fundet en opskrift på, hvordan man skal skulle gøre det for denne i min bog, men jeg ved ikke hvordan jeg skal gøre det samme for y og z.

Svar #11
16. september 2015 af Amandaolesen123 (Slettet)

Mit problem er, at fremgangsmåden ikke fremgår klart i min bog og jeg har svært ved at gennemskue den, da jeg har svært ved at forstå emnet.

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

$\begin{pmatrix} a_{11}} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$

Find først determinanten af koefficientmatricen:

$D= \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

Derefter finder du de tre determinanter, der svarer til de tre variable:

$D_x= \begin{vmatrix} b_{1} &a_{12} &a_{13} \\ b_{2} &a_{22} & a_{23}\\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ ,

$D_y= \begin{vmatrix} a_{11} &b_{1} &a_{13} \\ a_{21} &b_{2} & a_{23}\\ a_{31} & b_{3} & a_{33} \end{vmatrix}$ ,

$D_z= \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &b_{1} \\ a_{21} &a_{22} & b_{2}\\ a_{31} & a_{32} & b_{3} \end{vmatrix}$

Herefter finder du de tre variable med:

$x = \frac{D_x}{D},\\ y=\frac{D_y}{D},\\ z=\frac{D_z}{D}.$

Svar #13
18. september 2015 af Amandaolesen123 (Slettet)

Okay, jeg tror jeg fundet ud af det nu. Tak for hjælpen (:

Skriv et svar til: Den fuldstændige løsning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.