differentialligning af anden orden

15. november 2015 af Ellapigen (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvis jeg har:

f '' (x) = 1/a kvadratrod 1+f ' (x)^2

Ved at sætte u(x) = f ' (x) fås to første ordens differential ligninger:

u'(x) = 1/a kvadratrod 1+u(x)^2 f'(x)=u(x)

Jeg er ikke helt med på hvorfor den sidste ligning er nødvendig?

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. november 2015 af mathon

$f{\, }''(x)=\frac{1}{a}\sqrt{1+(f{\, }'(x))^2}$

her sættes
$u(x)=f{\, }'(x)$ og dermed

$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{a}\sqrt{1+u^2}$

$\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\, \textup{du}=\frac{1}{a}\textup{ dx}$

$\int \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\, \textup{du}=\int \frac{1}{a}\textup{ dx}$

$\sinh^{-1}(u)=\frac{1}{a}x+k$

$u=\sinh\left (\frac{1}{a}x+k \right )$

$f{\, }'(x)=\sinh\left (\frac{1}{a}x+k \right )$

$f(x)=a\cosh\left (\frac{1}{a}x+k \right )$

Svar #2
15. november 2015 af Ellapigen (Slettet)

de sidste to trin forstod jeg ikke helt.. ved at finde stamfunktionen til f'(x) er det a*cosh(1/a x + k) ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. november 2015 af mathon

Er stamfunktionerne til f'(x) lig a*cosh(1/a x + k) ?

JA!

Skriv et svar til: differentialligning af anden orden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.