Matematik

Den ideele dåse

04. december 2015 af mustiiiiii (Slettet) - Niveau: C-niveau

Design en dåse af metal. Dåsen skal indeholde 0,33 l (= 330 cm3) og være cylinderformet.

I skal designe den, så materialeforbruget bliver mindst muligt.

Da I er nye i afdelingen, giver jeres chef jer følgende delopgaver: -

1. Opskriv et udtryk for dåsens overfladeareal som funktion af dens højde og radius.
2. Opskriv et udtryk for dåsens volumen som funktion af dens højde og radius.
3. Brug de to udtryk fra ovenfor til at opskrive et nyt udtryk for overfladearealet, som kun afhænger af radius af dåsen.
4. Bestem, ved hjælp af differentialregning, den radius, der giver det mindste overfladeareal.
5. Lav en konklusion på dåsens dimensioner, som kan sendes til dåsefabrikken.

Brugbart svar (3)

Svar #1
04. december 2015 af mathon

To cirkler Krum cylinderflade Samlet
Areal $2\pi r^2$ $h\cdot 2\pi r$ $2\pi r^2+h\cdot 2\pi r$

$A(r,h)=2\pi r^2+h\cdot 2\pi r$

          Volumen:    $V=h\cdot \pi r^2$
$330=\left (h\cdot \pi \cdot r \right )\cdot r$
$660=\left (h\cdot 2\pi r \right )\cdot r$
                                 $\frac{660}{r}=h\cdot 2\pi r$

$A(r)=2\pi r^2+\frac{660}{r}$

$A{\, }'(r)=4\pi r-\frac{660}{r^2}$

Minimal overflade
kræver:
$A{\, }'(r_o)=4\pi r_o-\frac{660}{{r_o}^2}=0$ identisk med mindst mulig materialeforbrug.

Svar #2
04. december 2015 af mustiiiiii (Slettet)

Er det svar på 1 og 2?

Brugbart svar (2)

Svar #3
04. december 2015 af mathon

1) og 2) og 3)

Brugbart svar (2)

Svar #4
04. december 2015 af mathon

…alle længdemål er i cm.

Skriv et svar til: Den ideele dåse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.