blandet statistik, bl.a. normalfordeling

Opgaverne (jeg skriver dem i hånden):

1. I dette tilfælde er funktionen konstant så k kan findes af at  k ganget med arealet af definitionsmængden er 1. De pågældende sandsynligheder kan findes som arealet af de pågældende områder gange k

2. Summen af 2 stokastisk uafhængige normalfordelte variable er en ny normalfordeling med middelværdien summen af de enkelte variables middelværdi og en varians, der er summen af de enkelte variables varianser.

Så det er altså integralet man skal bruge i 1'eren?

Ja, brug at

Kan det passe at k skal give 1/4?

Hmm, du har at

per det i #5 har du altså at 8k=1 <=> k=1/8

Men giver nedenstående integrale ikke 2?

Hvorfor sættes den lig med en?

Jo det gør det, og

 , de skal så ganges sammen, hvilket der giver 8 :)

udtrykket i #7 sættes lig 1 da f(x,y) er en tæthed, og du ved at der skal gælde for tætheder at de integrerer til 1.

Desuden er jeg enig med dig i resultatet til opgave 8, mens at jeg får et lidt andet resultat nr. 4 :)

hvad får du i nr.4?

ca. 0,33 :)

Og der ser rigtig nok ud når jeg regner efter http://www.wolframalpha.com/input/?i=X~normal+distribution%2C+mean+3.6%2C+variance+0.01%2C++P%28-0.33%3CX-3.6%3C%3D0.33%29

Skal den ikke beregnes som de andre opgaver med fraktil? Det er i ´hvert fald sådan jeg havde gjort.

Hmm, hvis nu vi lader Y=X-3.6 har vi at Y~N(0,01) og vi skal nu finde c så P(-c<Y≤c)=0.999

Der gælder at P(-c<Y≤c)=P(Y≤c)-P(Y≤-c)=F(c)-F(-c), hvis vi så deler c med standardafvigelsen som du også har gjort fås:

F(c)-F(-c)=Φ(c/0.1)-Φ(-c/0.1)=Φ(c/0.1)-(1-Φ(c/0.1))=2Φ(c/0.1)-1, vi sætter lig med 0.999:

2Φ(c/0.1)-1=0.999 <=>Φ(c/0.1)=0.9995 => c/0.01=3.3 <=> c=0.33

Fraktilen har jeg slået op i en tabel.

Men i denne opgave skal du huske at det er et interval, så det er nemmest først at skrive det lidt om! :)

Jeg undrer mig lige over, hvad Y~N(0,01) betyder?

Åhh, undskyld. Y~N(0,0.01) skulle der stå. Det betyder bare at Y er normalfordelt med middelværdi 0 og varians 0.01. Og grunden til dette er jo at vi bare har trukket en fast værdi fra X, altså trækker vi værdien fra middelværdien, men det ændrer ikke variansen! :) 

oka så (y)

men nogle steder divideres der med 0,1 og andre steder 0,01. 2Φ(c/0.1)-1=0.999 <=>Φ(c/0.1)=0.9995  også bliver det til  c/0.01=3.3 <=> c=0.33  skal det ikke være  c/0.1=3.3 <=> c=0.33?

jo jo, 0.1 over det hele, det er bare tastefejl, jeg er vist lidt småtræt :)

Jeg forstår ikke nr. 12 og hellere ikke det, der står i #3  :/

er det ikke noget i retningen af, hvor man skal bestemme summen af vægten for at få mean/middelværdi og varianse findes ved at lægge dem sammen og tage kvadratroden af dem? så middelværdi bliver 105 Ib og sigma/varians 0,539 ?

Hvis vi kigger på teksten i opgave 12. kan vi indse at der er tale om to stokastiske variable. Den ene er containerens vægt (lad os kalde den X) og indholdet af containeren (Lad os kalde den Y), nu vil vi gerne finde ud af hvordan vægten af de to samlet er fordel, altså vi vil finde værdien af en ny stokastisk variabel Z=X+Y

Vi har at X~N(5,0.04) og Y~N(100,0.25) (med notationen fra før). Da X og Y er uafhængige (udfaldet af den enes vægt påvirker ikke den andens vægt) bruger den regel om normalfordelinger der siger, at for uafhængige stokastiske variable X,Y hvor X~N(µ_x,σ_x²), Y~N(µ_y,σ_y²), gælder at Z=X+Y~N(µ_x+µ_y,σ_x²+σ_y²), det giver altså i vores exsempel at:

Z=X+Y~N(5+100,0.04+0.25)=N(105,0.29) Og altså er middelværdien af Z E[Z]=105 og standardafvigelsen er √(Var(Z))=√(0.29)=0.539.