Matematik

Potensrække bevise et udtryk

05. december 2015 af Linda95 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har bestemt konvergensradiusen i opg i) til 3 uden nogen problemer. I den anden delopgave ii) skal jeg bevise et udtryk. Jeg har lidt svært ved det, da jeg ikke har en formel at gå efter/metode. Nogen der har en god metode?

Tak på forhånd.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2015-12-05 kl. 22.00.48.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. december 2015 af SådanDa

Prøv at starte med

$|f(x)-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\left(\frac{x}{3} \right )^n|$

Læg så alle leddene fra N+1 til uendelig til og træk dem fra igen, brug trekantsuligheden og så er du i gang i hvert fald? :)

Svar #2
05. december 2015 af Linda95 (Slettet)

Jeg har stadig svært ved det. Har du mulighed for at vise hvordan du gøre? :)

Brugbart svar (1)

Svar #3
05. december 2015 af SådanDa

Det var måske egentlig også et lidt dårligt hint (meget dårligt)... Men altså lad os prøve:

$|f(x)-\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\left(\frac{x}{3} \right )^n|=|\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\left(\frac{x}{3} \right )^n-\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\left(\frac{x}{3} \right )^n|$

$=|\sum_{n=N+1}^\infty\frac{1}{n^2}\left(\frac{x}{3} \right )^n|\leq \sum_{n=N+1}^\infty|\frac{1}{n^2}\left(\frac{x}{3} \right )^n|=\sum_{n=N+1}^\infty|\frac{1}{n^2}||\left(\frac{x}{3} \right )^n|$

$\leq\sum_{n=N+1}^\infty|\left(\frac{x}{3} \right )^n|=\sum_{n=N+1}^\infty\left(|\frac{x}{3}| \right )^n=\sum_{n=N+1}^\infty\left(\frac{|x|}{3} \right )^n\leq\sum_{n=N+1}^\infty\left(\frac{1}{3} \right )^n$

Du må sige til hvis du ikke er med eller decideret uenig! :)

Svar #4
06. december 2015 af Linda95 (Slettet)

Hvilken formel bruger du? Og har du mulighed for at forklare i ord hvad du gør under de forskellige skridt? :)

Brugbart svar (1)

Svar #5
06. december 2015 af SådanDa

1. lighedstegn sætter jeg værdien af f(x) ind.

2. lighedstegn benytter jeg at der i de to summer står det samme, altså fjerner jeg blot de N første elementer i den første sum.

1. ulighedstegn Her bruges trekantsuligheden tællelig mange gange.

3. lighedstegn Regneregel for absolut værdi: |ab|=|a||b|

2. ulighedstegn da n>1 er og n²>1, hvilket vil sige at 1/n²<1 for alle n>N+1 så hvis vi fjerner 1/n² fra hvert led får vi altså noget større.

4. og 5. lighedstegn flere regneregler for absolut værdi: |aⁿ|=|a|ⁿog |a/b|=|a|/|b|

3. ulighed da x∈[-1,1] gælder at |x|≤1

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. december 2015 af AskTheAfghan

Benyt at

Σ_n=1^∞ • = [Σ_n=1^N •] + [Σ_n=1^∞ •] , |Σ_n•| ≤ Σ_n|•|, |_º|ⁿ = |_ºⁿ| for n,N ≥1

og |x| ≤ 1.

Svar #7
06. december 2015 af Linda95 (Slettet)

Tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Potensrække bevise et udtryk

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.