Dobbelt integraler

Det ville også være lidt voldsomt at gå i gang med målteori på A-niveau.

Well, kan du ikke se på det geometrisk? Vores intuition fra 2 dimensioner om integraler og arealer følger fint videre op til dobbeltintegraler i 3 dimensioner som voluminer. Tag fx den konstante funktion i det todimensionelle tilfælde, som trivielt blev integreret til et rektangel. Hvis vi så integrerer et areal i "dybden" får vi så en kasse.

Se evt. vedhæftede. Sådan kan du forestille dig volumen udregnes ved dobbeltintegraler - først integreres den ene vej, som laver et areal. Dernæst integreres den anden vej, som så giver en volumen.

Jeg kan fint forstå hvordan det gøres, men jeg har utrolig svært ved at give en matematisk argumentation af hvordan det specifikt bestemmes, fra det normale integrale, til det dobbelte integrale.

Hvordan konstrueres et dobbeltintegrale ud fra det normale integrale?

Ved at følge intuitionen skal du integrere dit første integrale. Vi skriver gerne evt. med en parentes for at fremhæve hvordan fremgangsmåden er,

Du kan altså konstruere det dobbelte integrale helt analogt med hvordan du konstruerer det første integrale: Som en grænseværdi af summer.

Så jeg integrerer faktisk i princippet 2 gange (dobbelt) præcist som udtrykket udtrykker i sig selv?

Kunne du eventuelt give et eksempel på en beregning med nogle konkrete værdier?

Ja, lige netop.

Man integrerer ikke altid som i den animation jeg lavede tidligere. Man kan også integrere i andre retningstyper: Fx kan man finde volumen af en kugle ved at integrere et cirkelsnit rundt 180 grader eller man kan integrere over alle parallelle cirkelsnit, kuglen består af.

Det simpleste eksempel, som du nok ikke synes er spændende er terningen med sidelængde 1 (animationen herover). Vi kan finde arealet af den ved

og så kan du nok selv resten.

Du kan finde et andet lidt mere kompliceret eksempel på Wikipedia. Her afgrænser vi den ene region med den anden variabel. Det er da vigtigt at kun det ene par af grænserne afhænger af den anden variabel, så vi kan integrere dem væk til sidst.

Tak for hjælpen, det hjalp en del. Har du også forstand på fysik, fordi jeg har fået til opgave at udlede formlen for inertimomentet for en rektangulær plade med rotationsakse i massemidtpunktet vinkelret på pladen, og kan simpelthen ikke finde ud af hvordan jeg starter?

Velbekomme.

Ja, men ikke mere end A-niveau, men hvis du har en formel og en funktion, så kan vi bare hoppe over forståelsen og anvendelsen til udregningerne, og så kan du selv tage de to førstnævnte derfra!

Altså pladen er 25,2 cm i længden og 15 cm i bredden, og rotationsaksen er midt i pladen. Hvordan kan jeg udlede dette med dobbelt integrale?

Længder er ikke en formel og funktion, som jeg skrev efter i #8. ;) Men prøv at oprette et nyt spørgsmål om det; jeg gætter på at du skal aflevere her i morgen (fredag d. 18.) og jeg kan først hjælpe i aften.