Kvadratrod af negativt tal?

Jeg er ikke sikker på, at der står noget om det i lærebøgerne, men uforkortelige brøker med ulige nævnere burde kunne bruges til at uddrage rødder af negative tal. Brøker med lige nævnere og irrationale tal kan ikke bruges. 

Lad f(x,n) = x^1/n, hvor n er heltal og n ≠ 0.

Hvis n er lige, gælder f(x, n) for x ≥ 0.

Hvis n er ulige, gælder f(x, n) for x∈ R.

Dit spørgsmål ser ud til at være stillet ud af interesse, og så kan du måske være interesseret i at læse om udvidelsen af de reelle tal: De komplekse tal.

Betragt dit problem ved ligningen som vi kan finde noget lignende for:

Måske kan du nu overbevise dig selv om at der i hvert fald eksisterer minimum én reel løsning, hvis b er et helt ulige tal. Sæt fx x = 27 og b = 3 og se at der i hvert fald findes en løsning y = -3.

For det mere generelle tilfælde af b bliver vi nødt til at introducere de komplekse tal for bl.a. at forstå hvad vi mener med en rationel (ell. evt. irrationel) potens af et negativt tal og om vores udvidelse lægger til grund til en unik løsning, som den gør for heltallige rødder af positive tal - evt. også hvordan en sådan rod defineres, hvilket har noget med afstand at gøre.

Hvis vi kun ser på for x reel og n positiv og hel, gælderder, at x skal være ikkenegativ, hvis n er lige, men kan antage en vilkårlig reel værdi, hvis n er ulige. Vi ser på x = 1 og x = -1.

for alle n.

for n ulige.

Man kan bedst indse det ved at betragte 1ⁿ og (-1)ⁿ. Den første giver altid 1, mens den anden giver 1 for n lige og -1 for n ulige. Den n'te rod af a er løsning til ligningen xⁿ = a. Hvis n er ulige, kan man altid finde netop 1 løsning til ligningen. Hvis n er ulige, kan man kun finde en løsning, hvis a ≥ 0. Hvis a tillige > 0, er der to løsninger, en positiv og en negativ. Man har så valgt den konvention, at den n'te rod er den positive løsning.

Prøv at tegne graferne for y=x, y=x², y=x³ og y=x⁴ (eller find dem på nettet). så kan du se, at de, der har lige potens kun har ikkenegative y-værdier og er symmetriske om y-aksen, mens de, der har ulige potens også har negative y-værdier.