Matematik

Opgave med cirklens ligning,

19. februar 2016 af Mathiasandersen11 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej,

Se vedhæftet for detaljer.

I a) indsættes punktet Q(3,4) i ligningen: x^2+y^2=25 <-> 3^2+4^2=9+16=25.

Dette har jeg forstået.

Men at finde tangentligningen?

Jeg ved at f'(x)(x-x0)+f(x)

Men skal ligningen for cirklen omskrives først eller hvorledes?
I b) ved jeg ligeledes at:

(x−a)^2+(y−b)^2=r^2

Men jeg kan ikke få det til at give mening med at punktet P ganges ind?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-02-19 kl. 15.36.05.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. februar 2016 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. februar 2016 af mathon

tangentligning i (x_o,y_o):

$x_o\cdot x+y_o\cdot y=25$
tangentligning i (3,4):

3 x+4 y=25

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. februar 2016 af mathon

b)
x^2+y^2=25 som differentieret implicit mht x
giver:
$2x+2y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{x_o}{y_o}$

dvs tangenten i (x_o,y_o)'s hældningskoefficient
er:
$-\frac{x_o}{y_o}$
og tangentligningen i (x_o,y_o)
er:
$y=-\frac{x_o}{y_o}\cdot (x-x_o)+y_o$

$y_oy=-x_ox+{x_o}^2+{y_o}^2$

$x_ox+y_oy={x_o}^2+{y_o}^2$

x_ox+y_oy=25

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. februar 2016 af mathon

eller
a)
Der gælder, at radius står vinkelret på tangenten i røringspunktet.

         Med centrum C(0,0) og et vilkårligt punkt på tangenten P(x,y)
         haves:
                         $\overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{QP}=0$

$\overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{QP}= \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-3\\y-4 \end{pmatrix}=0$

3(x-3)+4(y-4)=0

3x-9+4y-16=0

3x+4y=25

Svar #5
19. februar 2016 af Mathiasandersen11 (Slettet)

Er den førstnævnte løsning, du har angivet, ikke simpel?

Eller mener du det med det sidste eksempel at dette er den korrekte?

Tak for svar!

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. februar 2016 af mathon

I a) er der ikke angivet nogen restriktion for måden at finde tangenten på.

En lærer vil måske finde, at det at anvende den metode, som skal eftervises i b), er "fusk", hvorfor jeg
har givet metoden i #4.

Generelt gælder at
cirklen:
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 i punktet (x_o,y_o)
har tangenten:
(x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)=r^2

specifikt for (a,b) =(0,0)

x_ox+y_oy=r^2

Skriv et svar til: Opgave med cirklens ligning,

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.