Matematik

Byerne A og B ligger i forhold til kystlinjen CD...

18. marts 2016 af shadyp - Niveau: B-niveau

Hey.

Jeg kunne rigtig godt tænke mig noget hjælp til denne opgave.

Det handler om at finde den korteste brug af rørlængde, da der skal findes et fællesrensningssystem for by A og B.

Opgaven er vedhægtet som billede.

Tusind tak på forhånd.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-03-18 kl. 09.33.02.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. marts 2016 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
18. marts 2016 af mathon

Sæt
$\left | AR \right |=x\; \; \; \; \; \; \; \; 0<x<15$
hvoraf
$\left | AR \right |^2=x^2+4{,}5^2$

$\left | RB \right |^2=(15-x)^2+7^2$
Samlet rørlængde:
$L(x)=\sqrt{x^2+4{,}5^2}+\sqrt{(15-x)^2+7^2}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
18. marts 2016 af mathon

Korteste rørlængde
kræver bl.a.
$L{\, }'(x)=0$

Brugbart svar (1)

Svar #4
18. marts 2016 af mathon

hvoraf
$L{\, }'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+20{,}25}}\cdot 2x+\frac{1}{2\sqrt{(15-x)^2+49}}\cdot 2(15-x)\cdot (-1)=$

$\frac{x}{\sqrt{x^2+20{,}25}}-\frac{15-x}{\sqrt{(15-x)^2+49}}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. marts 2016 af mathon

$L{\, }'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+20{,25}}}-\frac{15-x}{\sqrt{(15-x)^2+49}}=0\; \; \; \; \; \; 0<x<15$

$\frac{x}{\sqrt{x^2+20{,25}}}=\frac{15-x}{\sqrt{(15-x)^2+49}}$

$x\sqrt{(15-x)^2+49}=(15-x)\sqrt{x^2+20{,}25}$

$x^2((15-x)^2+49)=(15-x)^2(x^2+20{,}25)$

$(15-x)^2\cdot x^2+49x^2=(15-x)^2\cdot x^2+(15-x)^2\cdot 20{,}25$

$49x^2=(15-x)^2\cdot 20{,}25$

$49x^2=(225-30x+x^2)\cdot 20{,}25$

$49x^2=4556{,}25-607{,}5x+20{,}25x^2$

$28{,}75x^2+607{,}5x-4556{,}25=0\; \; \; \; \; \; 0<x<15$

x=5{,}86957

Samlet minimumsrørlængde:
$L_{min}(x)=\sqrt{5{,}86957^2+4{,}5^2}+\sqrt{(15-5{,}86957)^2+7^2}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
18. marts 2016 af Eksperimentalfysikeren

Det er faktisk meget simplere. B's "spejlbillede", S, i kysten ligger 7 km fra land. Den korteste forbindelse mellem to punkter er en ret linie, R er skæringspunktet mellem kysten og linien AS.

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. marts 2016 af mette48 (Slettet)

Tænk at noget, der er så enkelt kan gøres så indviklet

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. marts 2016 af mathon

beregningerne bliver alligevel:

$\frac{x}{15-x}=\frac{\sqrt{x^2+4{,}5^2}}{\sqrt{(15-x)^2+7^2}}$

$x\sqrt{(15-x)^2+49}=(15-x)\sqrt{x^2+20{,}25}$

$x^2((15-x)^2+49)=(15-x)^2(x^2+20{,}25)$

$(15-x)^2\cdot x^2+49x^2=(15-x)^2\cdot x^2+(15-x)^2\cdot 20{,}25$

$49x^2=(15-x)^2\cdot 20{,}25$

$49x^2=(225-30x+x^2)\cdot 20{,}25$

$49x^2=4556{,}25-607{,}5x+20{,}25x^2$

$28{,}75x^2+607{,}5x-4556{,}25=0\; \; \; \; \; \; 0<x<15$

x=5{,}86957

Så det er så som så med det indviklede - men selvfølgelig uden differentiation af sammensat funktion.

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. marts 2016 af mette48 (Slettet)

Se #6

kaldes spejlingen af B for S fås 2 ensvinklede trekanter ACR og SDR

AC/SD = RC/RD = AR/RS

AC=4,5 SD=BD=7 CD=15 indsættes

4,5/7 = x/(15-x) ganger med 7 og med (15-x) på begge sider

4,5*(15-x)=7x

67,5-4,5x=7x

67,5=11,5x

x=5,869

der er 5,869 km fre C til R eller mellem R og D

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. marts 2016 af mathon

Det er naturligvis en beregningsmæssig lettelse at bruge kateteforholdet.

Skriv et svar til: Byerne A og B ligger i forhold til kystlinjen CD...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.