Redegør for sammenhængen mellem funktionen f(x) og f´´(x)

For to gange differentiable funktioner f(x), hvor 
gælder:
                       betyder, at  er voksende identisk med voksende tangenthældning
                      dvs  opad hul/konkav.

                       betyder, at  er aftagende identisk med aftagende tangenthældning
                      dvs  nedad hul/konveks.
 

                       betyder, at  har et maksimum eller minimum 
                      dvs  har skrå vendetagent, som betyder hulhedskifte.

#0. Sig evt. noget om at mens f'(x) fortæller om ændringen i f(x), så fortæller f''(x) noget om ændringen i f'(x). De nemmeste og bedste eksempler er nok andengrads- og tredjegrads-polynomierne.

For andengradspolynomiet a·x^2 + b·x +c er f''(x) = a og fortæller dermed hvad vej, grenene vender, og hvor tæt de er samlede. Lav en tegning af dette. (Bemærk at f''(x) ≠ 0 for andengradspolynomiet, da a ≠ 0 pr. deifinition).

For tredjegradspolynomier ax^3 + bx^2 + cx + d er f''(x) = 6ax + 2b. Her vil der altid være en værdi, hvor f''(x) = 0, og dette punkt kaldes vendetangenten. Lav en tegning, der illustrerer det med noget der ligner p(x) = x^3 + x^2 - x. Vis hvordan hældningen hele tiden aftager for x gående mod vendepunktet (går fra positiv til negativ) og derefter at vende og gå fra negativ til positiv og mod uendelig.

-Jeg tror, at det er uden for pensum, men f''(x) kan også bruges til at skelne mellem lokale ekstrema. Antag at f'(x₀) = 0. Der vil gælde, at f''(x₀) > 0, hvis x₀ er lokalt minimum (svarende til at a > 0 er lig med glad mund for andengradspolynomiet) og f''(x₀) > 0, hvis x₀ er lokalt maksimum. Hvis f''(x₀) = 0 er der tale om vandret vendetangent.

f '(x) siger noget om væksthastigheden, altså hvor hurtigt eller hvor meget y-værdierne falder eller vokser i forhold til voksende x-værdier. 

f ''(x) siger noget om hvor hurtigt eller hvor meget væksthastigheden falder eller vokser i forhold til voksende x-værdier.