Matematik

diff ligning anden orden

24. november 2016 af bokaj123 - Niveau: A-niveau

$\ddot{x}-2\dot{x}=2e$ ^2t

vil gerne løse ved at sub

u= $\dot{x}$

$\dot{u}=2u+2e$ ^2t

så fandt jeg den generelle løsning

$\dot{x}+ax=b(t) <-> x=Ce^{^{-at}}+e^{-at}\int e^{at}b(t)dt$

x=Ce^2t+e^2t*(2t)+B

x=Ce^2t+e^2t*2t+B

men det er ikke helt rigtig..

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. november 2016 af mathon

For
$u=\dot x$
har man
$\dot u-2u=2e^{2t}$
som løst med panserformlen
giver:
$u=e^{2t}\cdot \int e^{-2t}\cdot 2e^{2t}\mathrm{d}t$

$u=e^{2t}\cdot \int 2\, \mathrm{d}t$

$u=e^{2t}\cdot \left ( 2t+C_1 \right )$

$\dot x=e^{2t}\cdot (2t+C_1)$ som ved brug af delvis integration giver:

$x=\tfrac{1}{2}e^{2t}(2t+C_1)-\tfrac{1}{2}\int 2e^{2t}\mathrm{d}t$

$x=\tfrac{1}{2}e^{2t}(2t+C_1)-\tfrac{1}{2}e^{2t}+C_2$

                        $x=t\cdot e^{2t}+C$

Svar #2
24. november 2016 af bokaj123

Facit siger x=Ae^2t+B+te^2t

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. november 2016 af mathon

korrektion:
$x=e^{2t}\left ( t+\frac{C_1-1}{2} \right )+C_2$

Svar #4
24. november 2016 af bokaj123

er det den forkerte løsningform jeg har brugte? den minder lidt om den du kalder panzerformlen

Svar #5
25. november 2016 af bokaj123

hvad med

$\ddot{x}-x=sin(t)$

hvordan vil du løse den?

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. november 2016 af mathon

Den fuldstændige løsning til
den homogene differentialligning:

                                                              $\ddot x-x=0$
er
                                                              $x_h=c_1e^t+c_2e^{-t}$
En partiel løsning til
den inhomogene differentialligning
er:                                                          $x_p=-\tfrac{1}{2}\sin(t)$

Den fuldstændige løsning til
den inhomogene differentialligning

$\ddot x-x=\sin(t)$
er således:

x=x_h+x_p

$x(t)=c_1e^{t}+c_2e^{-t}-\tfrac{1}{2}\sin(t)$

Brugbart svar (0)

Svar #7
25. november 2016 af mathon

partiel løsning $\rightarrow$ partikulær løsning

Svar #8
26. november 2016 af bokaj123

hvorfor løser du den i 2? left hand og right hand side? er der ingen total løsning til sådan en diff lign? den er jo ikke homogen som du skriver, men du løser venstre side som om den var (karakteristisk ligning).

kan man altid løse diff lign på den måde? og hvad kaldes sådan en diff lign med de rigtige termer?:)

tak for hjælpen

Skriv et svar til: diff ligning anden orden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.