Matematik

Lineær algebra - lineær regression

11. december 2016 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hej hjælpere. Jeg har denne lange opgave, som I kan se nedenfor. Er der nogen af jer, der kan give mig et los i r** for at jeg kan komme i gang. Jeg ved simpelthen ikke hvordan jeg skal gribe den an. Evt. nogle vinks vil være rigtig gode, på forhånd tak!

Mvh

Kasper

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. december 2016 af VandalS

Hvad volder dig problemer? Selve opgaven guider dig igennem alle de trin du skal bruge, så jeg kan ikke se hvor der skulle opstå forvirring.

Svar #2
11. december 2016 af KaspermedK

Jeg forstår ikke hvordan jeg skal differentiere i a. Jeg ved godt hvordan man differentierer i flere variable, men den måde opgaven er bygget op på, giver absolut ingen mening i min verden.

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. december 2016 af VandalS

Benyt at den afledede af en sum er summen af de afledede, og derefter differentierer du hvert led for sig ved brug af kædereglen.

Svar #4
11. december 2016 af KaspermedK

Ja, og det er så der den går galt. Det siger mig ikke noget. ;-/

Brugbart svar (1)

Svar #5
11. december 2016 af VandalS

Differentiation af sum:

$(1) \hspace{1.3cm}\frac{\partial}{\partial x} \left( f(x) + g(x) \right ) = \frac{\partial}{\partial x}f(x)+\frac{\partial}{\partial x}g(x)$

Kædereglen:

$(2) \hspace{1.3cm}\frac{\partial}{\partial x} f(g(x))= f'(g(x))\cdot g'(x)$

Svar #6
12. december 2016 af KaspermedK

Jeg tror mest af alt, at det er det dersens sumtegn der volder problemer.

Brugbart svar (1)

Svar #7
12. december 2016 af VandalS

En forlængelse af (1) er, at

$(1a) \hspace{1.3cm}\frac{\partial}{\partial x} \left( \sum_{i=1}^nf_i(x) \right ) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x} \left( f_i(x) \right )$

Svar #8
12. december 2016 af KaspermedK

Tak, så jeg har fået disse:

Men opgave b. Jeg prøver at gange ind i parentesen, men i det sidste led står der pludselig et n ved q i min opgaveformulering. Har ingen anelse af hvor den kommer fra.

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. december 2016 af VandalS

$\sum_{i=1}^n 1 = n$ .

Benyt det til at simplificere summen

$\sum_{i=1}^n q$

Svar #10
12. december 2016 af KaspermedK

$2\,nq+\sum _{i=1}^{n}2\,pt_{{i}}-2\,y_{{i}}$

Dette får jeg i Maple, men når jeg gør det i hånden får jeg den jeg viste ovenfor (#8). Det er 2nq, som jeg synes ikke giver mening. - Jeg takker i øvrigt mange gange for din gode hjælp!

Brugbart svar (1)

Svar #11
12. december 2016 af VandalS

Du er måske ikke vant til at manipulere med summer, så her er en kort gennemgang af den problematiske sum _:

Sigma-tegnet dækker over en sum som vi kan skrive som

$\sum_{i=1}^n 2q = \underbrace{(2q+2q+2q+...+2q)}_n$

Der er altså n led, der hver er . Da hvert led indeholder den fælles værdi , kan vi sætte den udenfor parentes ved at bruge associativiteten af multiplikation, sådan som vi normalt gør det. Dette giver

$\underbrace{(2q+2q+2q+...+2q)}_n =2q\cdot \underbrace{(1+1+1+...+1)}_n$

Parentesen dækker nu over n led hvor hvert led er lig 1. Dette skriver vi tilbage til sigma-notation, hvorefter vi benytter den formel jeg gav i #9:

$2q\cdot \underbrace{(1+1+1+...+1)}_n = 2q \left( \sum_{i=1}^n1 \right ) = 2q\cdot (n) =2nq$

Her har jeg sat nogle ekstra (overflødige) parenteser for at gøre det tydeligt, hvordan udtrykket ændres.

Du kan manipulere med de øvrige summer på tilsvarende måde, hvis det er nødvendigt. Hvis du ikke er fortrolig med hvordan det skal gøre er du velkommen til at spørge igen =)

Svar #12
12. december 2016 af KaspermedK

#11
Du er måske ikke vant til at manipulere med summer, så her er en kort gennemgang af den problematiske sum _:

Sigma-tegnet dækker over en sum som vi kan skrive som

$\sum_{i=1}^n 2q = \underbrace{(2q+2q+2q+...+2q)}_n$

Der er altså n led, der hver er . Da hvert led indeholder den fælles værdi , kan vi sætte den udenfor parentes ved at bruge associativiteten af multiplikation, sådan som vi normalt gør det. Dette giver

$\underbrace{(2q+2q+2q+...+2q)}_n =2q\cdot \underbrace{(1+1+1+...+1)}_n$

Parentesen dækker nu over n led hvor hvert led er lig 1. Dette skriver vi tilbage til sigma-notation, hvorefter vi benytter den formel jeg gav i #9:

$2q\cdot \underbrace{(1+1+1+...+1)}_n = 2q \left( \sum_{i=1}^n1 \right ) = 2q\cdot (n) =2nq$

Her har jeg sat nogle ekstra (overflødige) parenteser for at gøre det tydeligt, hvordan udtrykket ændres.

Du kan manipulere med de øvrige summer på tilsvarende måde, hvis det er nødvendigt. Hvis du ikke er fortrolig med hvordan det skal gøre er du velkommen til at spørge igen =)

Tak! Det gav god mening! ;-) Jeg har nu min opgave c følgende:

Men jeg forstår ikke hvordan jeg skal få den på den dersens matrice form, altså:

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$

Det er måske simpelt nok i sig selv, jeg kan bare ikke aflæse det. :-)

Brugbart svar (0)

Svar #13
12. december 2016 af VandalS

Du har indsat dine summer i vektoren

$\begin{pmatrix}p \\ q \end{pmatrix}$ ,

hvilket er forkert. Du skal aflæse de koefficienter, der er på p og q i dit udtryk fra b), og skrive dem på matrixform. Det betyder, at

$a_{11} \cdot p + a_{12} \cdot q = \sum_{i=1}^n t_i^2 p + \sum_{i=1}^n t_i q$ og

$a_{21} \cdot p + a_{22} \cdot q = \sum_{i=1}^n t_i p + nq$ ,

som du kan se ved at udregne matrixproduktet

$A \begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix}$

og sammenligne koefficienterne med det udtryk du har fundet i b).

Svar #14
12. december 2016 af KaspermedK

Sorry, men jeg synes ikke det helt giver mening, da jeg også har sat mine summer ind i vektoren:

$\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}$

Så jeg synes ikke helt det er nemt at finde hoved og hale i det.

Ang. mine koefficienter som du antyder jeg skal indsætte i vektoren, er dette korrekt? Eller er den helt gal?

Svar #15
12. december 2016 af KaspermedK

Eller skal det være sådan?

Brugbart svar (1)

Svar #16
12. december 2016 af VandalS

Du skal ikke indsætte noget nogen steder. Du skal aflæse/sammenligne de to forskellige måder at udtrykke dine to ligninger på. I b) får du

$\sum_{i=1}^n t_i^2p + \sum_{i=1}^n t_iq = \sum_{i=1}^nt_iy_i$ og

$\sum_{i=1}^n t_ip + nq = \sum_{i=1}^ny_i$ .

Hvis du udregner det matrixprodukt, de angiver i c), får du

$A \begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \ a_{12} \\ a_{21} \ a_{22} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ , som svarer til de to ligninger

$\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{12} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} =b_1 \Leftrightarrow a_{11}\cdot p + a_{12} \cdot q = b_1$ og

$\begin{pmatrix} a_{21} \ a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} =b_2 \Leftrightarrow a_{21}\cdot p + a_{22} \cdot q = b_2$

Ved sammenligning af de to udtryk kan du så bestemme dine koefficienter da disse er ganget på dine p'er og q'er i resultatet fra delspørgsmål b).

Svar #17
12. december 2016 af KaspermedK

Okay, har prøvet at lege lidt med det. Ser det her lidt mere rigtigt ud?

Eller skal jeg også have sumtegnene med i sidste del?

Svar #18
12. december 2016 af KaspermedK

Jeg tror det giver mere logisk mening med sumtegnene med på, så det har jeg gjort.

Brugbart svar (0)

Svar #19
12. december 2016 af VandalS

Ja, du skal have sumtegnene med - de udtrykker jo at der er tale om en sum af n led, og ikke bare en enkelt værdi. F.eks. er

$\sum_{i=1}^n t_i^2 p = p \left(\sum_{i=1}^n t_i^2 \right )$ ,

så forskellen er ganske betydelig.

Svar #20
12. december 2016 af KaspermedK

Fair nok, så har lavet det således:

Forrige 1 2 Næste

Der er 25 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.