Matematik

Taylorrækker

25. april 2017 af MissLADY1 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.
Har brug for hjælp til opgave a) og opgave c). 

Resultatet for a) er (-a^n/n)*x^n , men min fremgangsmetode var forkert . Jeg skal åbenbart bruge induktion, er dog usikker på, hvordan jeg skal gøre det.

I opgave c) skal jeg bruge restleddet, men jeg kan ikke rigtig komme frem til noget brugbart. 

(Der er vedhæftet et billede af opgaven)


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. april 2017 af fosfor

Differentier log(x) en gang og se at du får

\frac{(n-1)!}{-(-x)^n} med n=1

Differentier brøken og se at n blot adderes med 1:

\frac{-n!}{(-x)^{n+1}}

Dvs. ved induktion er den første brøk den n'te afledte af log(x)

Den n'te afledte af log(1+x) fås fra ovenstående ved at bruge kædereglen n gange:

\frac{-n!}{(-x-1)^{n+1}}

Og den n'te afledte af log(1-a x) fås fra ovenstående ved igen at bruge kædereglen n gange:

\frac{-(-a)^nn!}{(-x-1)^{n+1}}

Nu fås det du har skrevet ved danne taylorrækken, dvs. at indsætte udviklingspunktet x=0, dividere med n! og gange med xn


Brugbart svar (0)

Svar #2
25. april 2017 af peter lind


Brugbart svar (0)

Svar #3
25. april 2017 af peter lind

f(0) = 0

f'(x) = -a(1-ax)-1(-1)     f'(0) = -a

f''(x)  = -a(-a)*(1-ax)-2  f''(0) = -a2

f'''(x)  =  -a2*(-a)*(-2)(1-a)-3 = - a3*2(1-x)3  f'''(0) = -2a3

fortsæt selv


Brugbart svar (0)

Svar #4
26. april 2017 af universitet (Slettet)

Hvordan skal man fortage delopg. a) ved induktion? Jeg havde nemlig gjort det samme som "peter lind" har skrevet, men det skal gøre vha. induktion.


Brugbart svar (0)

Svar #5
26. april 2017 af peter lind

Du gætter på at f(n)(x) = -an(n-1)!(1-ax)n Ud fra dette viser du ved differentiation at dette også gælder for n+1


Brugbart svar (0)

Svar #6
26. april 2017 af universitet (Slettet)

Jeg undskylder, men jeg forstår ikke hvordan jeg kan vise det gælder for n+1. Altså jo i induktion så slutter man af med n+1, men lige i dette eksempel er jeg ikke helt med hvordan det skal gøres. Skal jeg blot indsætte "n+1" på "n's" plads? Hvordan kan jeg så argumentere for at det er sandt for alle n? For når jeg prøver at differentiere udtrykket med n=1 får jeg dette:

((a*n!*(−(a*x-1))^(−n)*a^(n))/(a*x-1))

men hvad skal det være lig med for at jeg kan sige at det er sandt for n=1?


Brugbart svar (0)

Svar #7
26. april 2017 af universitet (Slettet)

f'(x) = -a(1-ax)-1(-1)     f'(0) = -a

Nååh okay man bruger måske det ovestående her for n=1, og det passe også med det man har gættet. Så dermed er det sandt for n=1. 


Brugbart svar (0)

Svar #8
26. april 2017 af peter lind

Jeg har vist at det gælder for n=1, 2 og 3.

Du skal simpelthen differentiere f(n)(x)


Brugbart svar (0)

Svar #9
26. april 2017 af universitet (Slettet)

f(n)(x) differentieret vil det så give: 

((a*n!*(−(a*x-1))^(−n)*a^(n))/(a*x-1)) ? 

og for x=0: 

−a^(n+1)*n!


Brugbart svar (0)

Svar #10
26. april 2017 af peter lind

Reducer f(n)(x)


Skriv et svar til: Taylorrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.