Matematik

Krydsprodukt

13. maj 2017 af melonslice (Slettet) - Niveau: A-niveau

En plan $\alpha$ er givet ved ligningen:

3x-5y-2z+1=0
og et punkt P er givet ved
P(-1,3,1)
a) Bestem en ligning for den kugle, der har centrum i P og har
$\alpha$ som tangentplan. = $(x+1)^2+(y-3)^2+(z-1)^2 = \frac{1}{2}\cdot{\sqrt{38}}$
b) Bestem projektionen af punktet P på planen $\alpha$ . = $\left[ \begin {array}{c} 1/2\\ \noalign{\medskip}1/2 \\ \noalign{\medskip}0\end {array} \right]$
c) Bestem en parameterfremstilling for en af de linjer, der er parallelle med
planen $\alpha$ og indeholder punktet P.

Mit spørgsmål drejer sig om spg. C)

http://imgur.com/a/RtURg

Hvorfor må man krydse et projektionspunkt og en vektor? Som det kan ses af billedet får jeg det rigtige resultat, den lilla linje er parallel med planen, retningsvektor(m) = retningsvektor(l) x P_.2 vektorer kan jo ikke krydses hvis de er parallelle ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. maj 2017 af mathon

Din cirkelligning er forkert.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. maj 2017 af mathon

Korrektion:
Din kugleligning er forkert.

Svar #3
13. maj 2017 af melonslice (Slettet)

ja, $(x+1)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\frac{1}{2}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. maj 2017 af mathon

kugleligning:
$\small (x+1)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\left ( \tfrac{19}{2} \right )^2$

Svar #5
13. maj 2017 af melonslice (Slettet)

jeg har åbentbart et eller andet forståelsesproblem med den distance formel eller også bruger jeg en forkert metode, du bruger planens ligning og indsætter punktet P, og dividere med længden af normalvektoren?

$dist=\frac{\left |3(-1)-5(3)-2(1)+1 \right |}{\sqrt{3^2+(-5)^2+(-2)^2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. maj 2017 af mathon

$\small dist(\alpha ,P(-1,3,1))=r=\frac{\left |3(-1)-5(3)-2(1)+1 \right |}{\sqrt{3^2+(-5)^2+(-2)^2}}=\frac{19}{\sqrt{38}}=\frac{19\sqrt{38}}{38}=\frac{\sqrt{38}}{2}$

$\small r^2=\left ( \frac{\sqrt{38}}{2} \right )^2=\frac{38}{4}=\frac{19}{2}$

det vil efter korrektion
sige:

kugleligning:
$\small \small (x+1)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\tfrac{19}{2}$

Svar #7
13. maj 2017 af melonslice (Slettet)

godmorgen mand! tak.

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. maj 2017 af mathon

c) Bestem en parameterfremstilling for en af de linjer, der er parallelle med
planen $\alpha$ og indeholder punktet P.

Bemærk: Der er ikke noget retningskrav. …for en af de linjer, hvilket betyder for en af de uendeligt mange linjer gennem P parallelle med planen $\small \alpha .$

          F.eks. ligger $\small Q\left( 0,0,\tfrac{1}{2}\right)$ i $\small \alpha$
og
          $\small \overrightarrow{r_1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}-0\\ \tfrac{1}{2}-0\\0-\frac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ er en retningsvektor for linjen gennem Q og R, hvor R er et variabelt punkt i
                                                     $\small \alpha.$

en anden og mere bekvem retningsvektor
er:
$\small \overrightarrow{r}=2\overrightarrow{r_1}=2\cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1 \\ -1 \end{pmatrix}$

En linje gennem $\small P\left (-1,3,1 \right )$ parallel med $\small \alpha$ har retningsvektor $\small \overrightarrow{r}.$

$\small \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OC}+t\cdot \overrightarrow{r}$

$\small \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\3 \\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ -1 \end{pmatrix}$

eller noteret

$\small \left ( x,y,z \right )=\left ( -1+t,3+t,1-t \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. maj 2017 af mathon

korrektion:
og
$\small \overrightarrow{r_1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}-0\\ \tfrac{1}{2}-0\\0-\frac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ er en retningsvektor for linjen gennem Q og P_α.

En linje gennem $\small P\left (-1,3,1 \right )$ parallel med $\small \alpha$ har retningsvektor $\small \overrightarrow{r}.$

$\small \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OC}+t\cdot \overrightarrow{r}$ hvor R(x,y,z) er et variabelt punkt på linjen.

Svar #10
13. maj 2017 af melonslice (Slettet)

Hvordan ved du at Q ligger i planen? Og kan du forklare hvorfor følgende virker: $P_{\alpha}$ X $r_{l}$ , hvor $P_{\alpha}$ er en projektionspunkt ind på planen og $r_{l}$ er en normalvektor til planen.

Brugbart svar (0)

Svar #11
14. maj 2017 af mathon

F.eks. ligger $\small Q\left( 0,0,\tfrac{1}{2}\right)$ i $\small \alpha$
fordi koordinaterne opfylder 3x - 5y - 2z + 1 = 0.

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. maj 2017 af mathon

Man kan ikke krydse et projektionspunkt og en vektor.

Krydsproduktet eller det vektorielle produkt er defineret som et produkt mellem vektorer.

Svar #13
14. maj 2017 af melonslice (Slettet)

Spg. B ) Bestem projektionen af punktet P på planen $\alpha$

Okay, jeg har fundet normalvektoren til planen n:(3,-5,-2) og P(-1,3,1)
så har jeg lavet en parameterfremstilling for en linje $l=P+t\cdot{n}$ vektor

så har jeg fundet skæringspunktet mellem linje l og planen $\alpha$ .
Konklusion: Projektionen af punktet P på plan $\alpha$ er givet ved $P_{\alpha}$ (1/2, 1/2, 0).

Spg. C)
En retningsvektor for linjen l er normalvektoren til planen.

En retningsvektor for en ny linje m, er $r_{m}$ = $r_{l} \times P_{\alpha}$
$r_{m} = (1,-1,4)$

Konklusion: $l_{m}=P+s\cdot{r_{m}}\\ m: <-1,3,1> + s\cdot{<1,-1,4>}$

Jeg er bare ikke sikker på hvorfor at man kan krydse med $P_{\alpha}$ , men plotter jeg det i Maple som jeg vedhæftet i det første indlæg kan man se at den lilla linje m er parallel med planen.

Brugbart svar (0)

Svar #14
14. maj 2017 af mathon

"Jeg er bare ikke sikker på hvorfor at man kan krydse med $P_{\alpha}$ ,…"

Det kan du være sikker på, at du ikke kan som forklaret i #12.

Skriv et svar til: Krydsprodukt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.