Matematik

Diffrential regning bevis

04. august 2017 af locoroco (Slettet) - Niveau: B-niveau

Er der nogle, som kan hjælpe mig med at bevise diffrentialreglen som jeg har vedhæftet?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2017-08-04 kl. 20.40.36.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. august 2017 af sjls

Prøv at bruge tretrinsreglen for f(x) = k*x^2.

Svar #2
04. august 2017 af locoroco (Slettet)

Ved godt at man skal bruge tretrinsreglen, men er dog ikke så god til det.

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. august 2017 af mathon

1. trin
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! f(x_o+h)-f(x_o)=k\cdot (x_o+h)^2-k\cdot {x_o}^2=k\cdot \left ( {x_o}^2+2x_oh+h^2-{x_o}^2 \right )=k\cdot \left ( 2x_o +h\right )h$

2. trin
$\small \frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}=\frac{ k\cdot \left ( 2x_o+h \right ) h}{h}=k\cdot \left ( 2x_o+h \right )$

3. trin
$\small \small \mathbf{\color{Red}f{\, }'(x_o)}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim} \; \frac{f(x_o+k)-f(x_o)}{h}=k\cdot (2x_o+0)=\mathbf{\color{Red} 2kx_o}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. august 2017 af mathon

3. trin
$\small \mathbf{\color{Red}f{\, }'(x_o)}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim} \; \frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}=k\cdot (2x_o+0)=\mathbf{\color{Red} 2kx_o}$

Svar #5
04. august 2017 af locoroco (Slettet)

#4
3. trin
$\small \mathbf{\color{Red}f{\, }'(x_o)}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim} \; \frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}=k\cdot (2x_o+0)=\mathbf{\color{Red} 2kx_o}$

Kan du også hjælpe med denne?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2017-08-04 kl. 23.01.46.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. august 2017 af Mathias7878

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. august 2017 af sjls

Du skal gerne lave et nyt opslag til et nyt spørgsmål.

Men en måde at bevise dette er ved at bruge regnereglen for differentiation af sammensat funktion: (f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x) . Hvis vi opskriver

$y=x^a\Leftrightarrow ln(y)=ln(x^a)=a*ln(x)$

her har man altså taget ln på begge sider og reduceret ved at bruge logaritmeregneregler. Da er

$(ln(y))'=\frac{1}{y}*y'=(a*ln(x))'=\frac{a}{x}\Leftrightarrow \frac{y'}{y}=\frac{a}{x}\Leftrightarrow y'=y*\frac{a}{x}=a*x^{a-1}$

hvor y' svarer til y differentieret med hensyn til x.

Svar #8
05. august 2017 af locoroco (Slettet)

@sjls hvad er det for en funktion du har svaret på?

Den fra svar 5?

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. august 2017 af sjls

Ja.

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. august 2017 af mathon

Pr definition:
$\small \small h(x)=x^a=e^{a\ln(x)}\; \; \; \; \; \; x\in \mathbb{R}_+$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! h{\, }'(x)=\left (x^a \right ){ }' =\left (e^{a\ln(x)} \right ){}'=e^{a\ln(x)}\cdot a\cdot \frac{1}{x}=x^a\cdot a\cdot \frac{1}{x}=a\cdot x^a\cdot x^{-1}=a\cdot x^{a+(-1)}=a\cdot x^{a-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. august 2017 af mathon

…som specifikt for det udvidede potensbegreb _{(det fra folkeskolen kendte)}
med $\small a\in \mathbb{Z}_0$ og $\small x\in \mathbb{R}_0$
giver:
$\small h(x)=x^a=\overset{a\; faktorer}{\overbrace{x\cdot x\cdot _{.....}\cdot x}}$

$\small h{ }'(x)=\overset{a\; addender}{\overbrace{1\cdot x^{a-1}+1\cdot x^{a-1}+_{.....}1\cdot x^{a-1}}}=a\cdot 1\cdot x^{a-1}=a\cdot x^{a-1}$

Skriv et svar til: Diffrential regning bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.