Matematik

Epsilon-delta bevis

13. oktober kl. 13:02 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle. Jeg fik lyst til at træne mine kompetencer i epsilon-delta beviser, inden jeg skal lave min eksamenopgave. Jeg har dog fundet en opgave i min bog, som jeg skal lave epsilon-delta bevis af. Problemet er bare, at jeg ikke ved hvordan jeg skal komme videre... Kan I hjælpe?

Jeg har grænsen

\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x+1}{x^2-1}=-\frac{1}{2}

Jeg ved, at a=-1, og L=-\frac{1}{2}. Jeg bruger epsilon-delta definitionen

|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon

ser jeg udelukkende på mit epsilon så har jeg

|\frac{x+1}{x^2-1}-(-\frac{1}{2})|<\epsilon

|\frac{x+1}{x^2-1}+\frac{1}{2}|<\epsilon

|\frac{x+1}{2x-2}|<\epsilon

Og hvordan i alverden komer jeg videre, når jeg gerne vil opnå

|x+1|<\delta

Kan I hjælpe mig derude?

NB: Ta' jer ikke af min rodede notation ift. epsilon ovenfor, det står ikke skrevet sådan på mit papir.


Brugbart svar (0)

Svar #1
13. oktober kl. 13:45 af fosfor

Grænsen er -1/2 når x->-1, hvis

|x+1|<\delta    medfører
\left|\frac{x+1}{x^2-1}+\frac{1}{2}\right|<\epsilon\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2)
for alle \varepsilon >0, hvor delta gerne må afhænge af epsilon

Antag derfor |x+1|<\delta. Antag også \delta < 1.
Lad y=x+1 så |y|<\delta og venstresiden af (2) kan omskrives til
\left|\frac{y/2}{y-2}\right|=\frac{|y|/2}{|y-2|}<\frac{\delta/2}{1}
hvor 1-tallet i den sidste nævner skyldes |y|<|\delta|<1 hvormed 3<|y-2|<1
Den ønskede ulighed (2) holder, hvis \frac{\delta/2}{1}\leq\varepsilon samt ekstra-antagelsen \delta < 1.
Det opnås ved at vælge \delta=\min(2\varepsilon,0.999).


Svar #2
13. oktober kl. 14:31 af KaspermedK

Mange tak #1


Skriv et svar til: Epsilon-delta bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.