Matematik

Bevis, Binomialformlen

29. oktober 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.
Jeg skal forstå beviset for binomialformlen
Beviset vedhæfter jeg som et billed, og der er 2 sætninger i beviset, som giver ikke mening. altså

What is the coefficient on $n^{n-k} \ y^k$ ? Every term in the expansion is the result of choosing either the x or the y from each factor.

Hvor kommer $n^{n-k} \ y^k$ fra?
Hvorfor ehvert udtryk i ekspansionen er resulterer ved at vælge enten x eller y fra hver faktor?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. oktober 2017 af Anders521

Hejsa,

prøv følgende link. Videoen virker ret pædagogisk og giver dig svar på, hvor udtrykket x^n-ky^k kommer fra.

https://www.youtube.com/watch?v=ZsSPL8heJSk

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. oktober 2017 af mathon

Binomialformlen

Betragtes et udtryk:
$\small \left (a_1+b_1 \right )\cdot \left (a_2+b_2 \right )\cdot ...\cdot \left (a_n+b_n \right )$ ,
hvor $\small a_1,b_1,a_2,b_2,...,a_n,b_n$ er givne tal.

Ved gentagen anvendelse af den distributive lov finder man, at dette udtryk kan omskrives til en sum $\small \textit{S}$ , hvis addender alle er af formen

$\small c_1c_2...c_n$
hvor hvert $\small c_j$ er lig med enten $\small a_j$ eller $\small b_j.$ Ethvert led af denne art vil forekomme i $\small \textit{S},$ som altså indeholder $\small 2^n$ led. Et led i $\small \textit{S},$ kan karakteriseres ved angivelse af de numre $\small \textit{j}$ , for hvilke $\small c_j=a_j,$ og de numre numre $\small \textit{j}$ , for hvilke $\small c_j=b_j.$ Denne karakteristik svarer til en inddeling af mængden $\small \{1,2,3,...,n\}$ i to disjunkte delmængder. Antallet af led i $\small \textit{S},$ som indeholder $\small \textit{p}$ $\small \textit{b} '$ er og $\small (n-p)\textit{ a'}$ er er derfor lig med $\small K_{n,p}={\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}}$ .

Hvis nu
$\small \small a_1=a_2=a_3=...=a_n=a$
$\small b_1=b_2=b_3=...=b_n=b,$
er udtrykket i 2. linje lig med $\small \left (a+b \right )^n$ , og de led i $\small \textit{S},$ som indeholder $\small p$ $\small b'$ er og $\small n-p$ $\small a'$ er, er alle lig med $\small a^{n-p}b^p.$

Da der findes $\small \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}$ sådanne led, er det samlede bidrag til $\small \textit{S}$ fra disse led
lig med

$\small \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}a^{n-p}b^p.$
Heraf kan man slutte,
at
$\small (a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+...+\binom{n}{p}a^{n-p}b^p+...+\binom{n}{n}a^{0}b^n=$

$\small \overset{n}{\underset{p=0}{\sum}} \begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}a^{n-p}b^p$ .

Formlen kaldes $\small \textbf{\textit{binomialformlen}}.$

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. oktober 2017 af Therk

#0:

Udtrykket kommer fra at du har n parenteser, som skal ganges sammen. Du skal vælge ét af leddene i hver af de n parenteser. Hvis du vælger k≤n y'ere, så har du n-k led tilbage, som du ikke har valgt. Hvis du ikke vælger y, så må du nødvendigvis vælge x.

Eksempelvis her (n = 6) har jeg valgt k = 4 y'ere. De $n - k = 6 - 4 = 2$ resterende led må jeg så vælge x.

$\overbrace{(x+y)}^y \overbrace{(x+y)} \overbrace{(x+y)}^y\overbrace{(x+y)}^y\overbrace{(x+y)}^y\overbrace{(x+y)}$

Hvor mange måder kan der vælges 4 y'ere og 2 x'er på? Da bruges binomialkoefficienten i argumentationen i #0.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Som sædvanlig: Sig til hvis du er i tvivl.

Skriv et svar til: Bevis, Binomialformlen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.