lineær algebra - vector space opgave

Jeg ved ikke, men har set nogen skrive om inspection, og det skulle vel tilfældigvis ikke være sådan, at man kan se, at alle tre, dvs. f₁, f₂ og f₃ har n=2 som, dvs. de alle er af formen a₀+a₁x+a₂x². Er det sandt? Eller hvordan kan jeg ellers gøre det?

1) Du skal vise at de er lineært uafhængige. Rent umiddelbart kan det nemmest gøres også af hensyn til det næste spørgsmål at vise at du kan danne 1,x og x² ved hjælp af de 3 polynomier. b) skal du så bare indsætte de fundne linearkombinationer

#1  Det er ikke tilstrækkeligt

Start med opgave b),  da {f1,f2,f3} er en basis hvis og kun hvis et arbitrært element kan skrives som en linearkombination af {f1,f2,f3} på en og kun en måde.

i b) skal man bruge lige store koefficienters metode, og den matrix der kommer ud af det er kvadratisk og invertibel, hvilket giver entydigheden af løsningen, og dermed at {f1,f2,f3} er basis

Hejsa, så hvis jeg nu vil vise, at de er lineære uafhængige, skal jeg så benytte mig af koefficienterne for f1,f2 og f3 og løse et homogent ligningssystem? Eller hvordan?

Hej igen. Jeg får det(A)=-1 (jeg kaldte min matrix for A). Den ser sådan ud:

Det giver mig, at de er lineære uafhængige. Derudover fik jeg så reduceret matricen på echelonform, og der er ledende indgange i x1, x2 og x3. Det giver mig vel, at f1, f2 og f3 er en basis for P2?

ja

Mange tak. Jeg er så lidt i tvivl om opgave b samt #4's forklaring. Hvordan skal jeg så vidt muligt gribe den an? 

Du skal finde coefficienter (som kaldes koordinater i opgaven) c₁, c₂, c₃ så
c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + c₃f₃(x) = a₀ + a₁x + a₂x²   som på matrixform er

Lige store koefficienternes metode er at se bort fra den første faktor på hver side af =

hvor c1,c2,c3 isoleres ved at gange med den inverse matrix på begge sider

Hvis du har fundet 1, x og x² som en linearkombination af f1, f2 og f3 er det meget nemmere at indsætte disse linearkombinationer i det vilkårlige element. ellers skal du løse ligningen ax²+bx+c = d*f1+e*f2+3*f3

#9 er den der matrix du har skrevet rigtigt? Jeg er lidt uenig for jeg får ikke f1, f2 og f3 ud af det, så er det en vilkårlig en du har skrevet eller hvordan?

Btw er det  rigtigt, at koordinaterne er: