Matematik

Lineær algebra - er dette rigtigt lavet?

01. november 2017 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Opgaven lyder:

Jeg har nået frem til, at min matrix er

$T_{B,B}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

Men er det rigtigt, og har jeg svaret på hele opgaven? Min stærke side er ikke i engelsk, desværre

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. november 2017 af fosfor (Slettet)

Hvis man kender b-koordinaterne, så omregnes de til standard x,y,z ved
$(x,y,z)=(1, 0, -1)\cdot b_1+ (1, 1, 1)\cdot b_2+ (0, 1, 1)\cdot b_3$
eller skrevet med matrix:
$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)$

T afbildingen fra basis B til standard basen S er
$[T]_{B\to S}(b_1,b_2,b_3)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)[T]_{B,B}(b_1,b_2,b_3)$
eller man kan lave (b₁,b₂,b₃) om til standard basen som det første:
$\\\text{}[T]_{B\to S}(b_1,b_2,b_3)=T(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right))\vspace{0.2cm} \\\text{ }\hspace{0.51cm} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)$
hvor
$T(x,y,z)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)$

Sættes disse udtryk for $\small [T]_{B\to S}(b_1,b_2,b_3)$ lig hinanden fås
$\\\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)[T]_{B,B}(b_1,b_2,b_3)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\\text{}[T]_{B,B}(b_1,b_2,b_3)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\\text{}[T]_{B,B}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)$
$\\\text{}[T]_{B,B}=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -4 & -3 \\ -2 & 6 & 4 \\ 4 & -7 & -5 \\ \end{array} \right)$

Svar #2
03. november 2017 af KaspermedK

1000 tak!

Skriv et svar til: Lineær algebra - er dette rigtigt lavet?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.