2. ordens differentialligning i Mat 1 (sandsynligvis b, eller a niveau men opgaven er dette niveau)

Jeg er i tvivl om min konstant til sidst, +1, skal være et minus? jeg mener bestem jeg har tjekket igennem for differentialregnings reglerne.. Hvis det ER rigtigt, når jeg så skal vise at f er lineær, skal jeg så bruge f(x)=x''-x' eller skal jeg bruge funktionerne fra opg. b og bruge tal eksempler?

Jeg synes, at det ser meget rigtigt ud. Jeg er lidt i tvivl om cos ligger i underrumet. Normalt har man jo Eulers relation cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix)) / 2, men her taler vi jo om funktioner defineret på den reelle akse.
 

+1 virker meget rigtigt.

For at vise, at f er lineær kan du evt. gøre noget i den her stil:
Antag h, g ligger i W og lad a være et reelt tal. Da har vi

f(ah + g) = (ah + g)'' - (ah + g)' = regne regne = af(h) + f(g)

 

Du kan også gøre det af to omgange hvis du er mere tryg ved det.
Så du f.eks. først kigger på h + g
dvs. f(h + g) = regne regne = f(h) + f(g)
og derefter kigger på ah
dvs. f(ah) = regne regne = af(h)

Nåå ja det er da rigtigt, man kan jo skrive cosinus på eksponentiel form.. hmm... nå den lader jeg lige ligge i blød - tak for svar!  mht. om f er linær har jeg gjort således, ser det også korrekt ud? eller ville du bruge en af funktionerne til at teste linearitetsbetingelserne?

Hov nåede ikke at se dit svar, undskyld

Jeg er ikke sikker på du kan skrive cosinus på eksponential form hvis ikke vi tillader komplekse argumenter. Måske kan du, men jeg kan ikke lige gennemskue det.

Du ved det nok nu, men du skal ikke bruge en konkret funktion hvis du bliver bedt om at vise, at f er linear.

Jeg synes, at det ser fint ud. Det er selvfølgelig klart ud fra konteksten her, men personligt foretrækker jeg at du skriver at x₁ og x₂ funktioner i W og k er et reelt tal.

Mange tak for svaret og dit input! det er self. en god ide at beskrive de forskellige værdier :)

I den sidste opgave skal jeg angive dimensionen for f(W) og finde kernen, angive en løsning for e^-t -1 og lave den fuldstændige løsning.

Jeg går ud fra at der er 3 dimensioner da rummet udspændes af 3 vektorer,  og den fuldstændige løsning skal vel findes via panserformlen - er én løsning så bare "den partikulære" løsning ud fra den fuldstændige løsning?

her kommer opgaveformuleringen lige en gang

Okay jeg har kigget lidt cosinues og eksponentialfunktionerne. Jeg er nu overbevist om, at cosinus ikke ligger i W.

Dimensionen for W er i hvert fald 3.

dimensionen af f(W) behøver ikke at være 3 (og vil nok ikke være det), men hvis ud finder kernen af f så kan du eventuel bruge dimensionssætningen (måske du kender den under et andet navn) som siger noget i stil med:

Hvis f er en lineær funktion defineret på vektorrummet W, så er dim(W) = dim(f(W)) + dim(ker(f)).

Dvs. konkret find ker(f) - f.eks. ved at finde en basis for underrummet. Så har du dim(W) og dim(ker(f)) ( = antallet af basiselementer) og så kan du nemt finde dim(f(W)).

Jeg kan ikke helt huske panserformlen, men jeg mener, at du kan bruge den til at finde en partikulær løsning. Hvis det er rigtigt, så find en partikulær løsning til e^t - 1.

Dvs. find g sådan at f(g) = e^t - 1.

Hvis du lægger en løsning til det homogene ligningssystem til g så vil det også være en partikulær løsning. Derfor vil samtlige løsninger til det homogene ligningssystem give anledning til en løsning til det partikulærer system (nemlig ved at lægge dem til en partikulær løsning). At alle løsninger kan findes på den måde, kan du jo så prøve at overbevise dig selv om.

Opsummerende så er den samlede løsningsmængde for det partikulære ligningssystem altså
ker(f) + g

Det blev lidt roddet, men jeg håber, at det giver mening :)
 

I øvrigt så kan du sikkert finde ker(f) ved at betragte

f(at + be^t + ce^-t) = 0

Det giver perfekt mening! meget forståeligt! tusind tak :)

Så lidt :) - I øvrigt så kan du måske undgå at bruge panserformlen. Hvis du kigger på (1/2)exp(-t) - t som du arbejder med i en tidligere opgaver så er f((1/2)exp(-t) - t) meget tæt på e^-t - 1. Jeg vil lade dig finde ud af hvad der skal ændres så tingene passer.

Ps. du har nok opdaget det, men jeg kan se, at jeg har skrevet e^t i stedet for e^-t et par steder.