Induktionsbevis

16. november 2017 af JohnDoe1990 - Niveau: Universitet/Videregående

$f(x)=ln(x)$

Det skal vises ved (simpel) induktion at:

$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1} (n-1)!\cdot x^{-n}$

Induktionsstart:

$f^{(1)}(x)=(-1)^{2}\cdot 0!\cdot x^{-1}=x^{-1}$

Induktionsantagelsen er:

$f^{(m)}(x)=(-1)^{m+1} (m-1)!\cdot x^{-m}$

Og ift. induktionsskridtet skal det vises at dette implicerer at:

$f^{(m+1)}=(-1)^{(m+1)+1}\cdot m!\cdot x^{-(m+1)}$

Betragt venstre-siden af overstående lighed. Det gælder at:

$f^{(m+1)}(x)=(f^{(m)}(x))'=((-1)^{m+1} (m-1)!\cdot x^{-m})'$

Differentieres dette udtryk fås:

$=((-1)^{m+1} (m-1)!\cdot x^{-m})'$

$=(-1)^{m+1}\cdot (m-1)!\cdot (x^{-m})'$

$=(-1)^{m+1}(-1) (m-1)!\cdot m\cdot x^{-(m+1)}$

$=(-1)^{(m+1)+1}\cdot m!\cdot x^{-(m+1)}$

$=f^{(m+1)}(x)$

... hvoraf hvad der skulle vises følger af princippet om simpel induktion.

Det jeg er i tvivl om i overstående bevis er, at jeg benytter følgende lighed i 2. sidste lighedstegn (med rystende hånd):

$(m-1)!\cdot m=m!$

Ligheden giver mening intuitivt, men kan ikke finde sætningen på internettet. Ser beviset ellers korrekt ud?

Mvh.

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. november 2017 af swpply (Slettet)

Det er korrekt!

Husk definitionen af fakultet til et vilkårkligt ikke negativt heltal N:

N! = N x (N-1) x ... x 2 x 1

Hvorfor, iflg. definitioen

m x (m-1)! = m x (m-1) x (m-2) x ... x 2 x 1 = m!

Brugbart svar (1)

Svar #2
16. november 2017 af swpply (Slettet)

NB. du kan skrive: (m-1)! = Γ(m),

hvor Γ(x) er Eulers gamma funktion.

Svar #3
16. november 2017 af JohnDoe1990

Mange tak! Slog lige Eulers fkt. op. Spændende!

Skriv et svar til: Induktionsbevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.