Matematik

Differentialligning - løsning?

23. november 2017 af MadsH1999 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle på SP,

Hvordan løses denne her differentialligning:

$\frac{y'}{y}=-0,1241x+0,363$ , hvor startbetingelsen er $y(25)=1792$ .

Kan opgaven løses vha. seperation af variable? Jeg har prøvet at løse udtykket vha. et CAS-værktøj, men det virkede ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. november 2017 af LandyA (Slettet)

Prøv at start med at integrerer begge sider først :)

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. november 2017 af LandyA (Slettet)

For at integerer y'(x)/y(x) så substituerer u=y(x) og du=y'(x)dx som så bliver integralet af 1/u du, som du måske kender bedre :)

Svar #3
23. november 2017 af MadsH1999 (Slettet)

#1
Prøv at start med at integrerer begge sider først :)

Men jeg er i tvivl om, hvad der står på venstresiden - er det $\frac{\frac{dy}{dt}}{y}$ ? I så fald, hvordan kan jeg så integrere leddet?

Brugbart svar (2)

Svar #4
23. november 2017 af mathon

$\small \frac{1}{y}\mathrm{d}y=-0{.}1241x+0{.}363\, \mathrm{d}x$

$\small \int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int \left (-0{.}1241x+0{.}363 \right )\, \mathrm{d}x$

$\small \ln(y)=-0{.}06205x^2+0{.}363x+C_1$

$\small y=Ce^{-0{.}06205x^2+0{.}363x}$
^samt

$\small y=1{.}42757\cdot 10^{16}\cdot e^{-0{.}06205x^2+0{.}363x}$

Svar #5
23. november 2017 af MadsH1999 (Slettet)

#4
$\small \frac{1}{y}\mathrm{d}y=-0{.}1241x+0{.}363\, \mathrm{d}x$

$\small \int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int \left (-0{.}1241x+0{.}363 \right )\, \mathrm{d}x$

$\small \ln(y)=-0{.}06205x^2+0{.}363x+C_1$

$\small y=Ce^{-0{.}06205x^2+0{.}363x}$
^samt

$\small y=1{.}42757\cdot 10^{16}\cdot e^{-0{.}06205x^2+0{.}363x}$

Mange tak for det mathon - jeg har dog et spørgsmål! Hvordan kan du gå fra $y'/y$ til $1/y$ , og hvordan kan dx komme over på højreside?

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. november 2017 af Soeffi

#0.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2017-11-23 kl. 18.49.05.png

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. november 2017 af Mathias7878

$\small \small \frac{y'}{y} = \frac{1\cdot y'}{y} = \frac{1}{y}\cdot y'$

Note:

Brøkreglen

$\small \frac{a}{c}\cdot b = \frac{a\cdot b}{c}$

er anvendt

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. november 2017 af Soeffi

.

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. november 2017 af LandyA (Slettet)

Mads, giver det mening endnu? :)

Svar #10
23. november 2017 af MadsH1999 (Slettet)

Jep! Tusind tak. :-)

Svar #11
23. november 2017 af MadsH1999 (Slettet)

Men gælder der så, at $y>0$ ? For hvis $y<0$ , så skulle jeg sætte et negativt fortegn foran konstanten c, ikke?

Svar #12
23. november 2017 af MadsH1999 (Slettet)

#11
Men gælder der så, at $y>0$ ? For hvis $y<0$ , så skulle jeg sætte et negativt fortegn foran konstanten c, ikke?

Ingen, der kan hjælpe? :)

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. november 2017 af Soeffi

#11 Men gælder der så, at $y>0$ ? For hvis $y<0$ , så skulle jeg sætte et negativt fortegn foran konstanten c, ikke?

Det, som du siger, giver ikke mening, for c kan jo godt være negativ.

Den blå kurve på billedet viser en positiv løsning, dvs. en løsning, hvor y>0 for alle x, mens den røde kurve viser en løsning, hvor y<0 for alle x. (y = 0 er ikke en løsning.)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2017-11-23 kl. 20.26.38.png

Skriv et svar til: Differentialligning - løsning?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.