SRP-mandelbrotmængden

Jeg kender ikke detaljerne i konstruktionen af mandelbrotmængden.

Generelt så er et fikspunkt for en funktion der afbilder fra en mængde ind i den samme mængde et punkt der sendes ind i sig selv (dvs. punktet holdes fast / fikseres af funktionen f).

F.eks. hvis vi har en funktion f : C → C hvor C betegner de komplekse tal, så er z ∈ C et fikspunkt for f hvis f(z) = z.

Jeg er ikke helt sikker på dit spørgsmål omkring periodicitet og bane (formodenligt fordi jeg ikke kender mandelbrotmængden særlig godt), så jeg ved ikke om det her kan bruges:

Hvis man har en følge  (x_n)^∞_{n = 1} som er givet rekursivt. Det vil f.eks. sige at man har en startværdi x₁ = 1 og så har en rekursiv formel for resten af elementer, dvs.

x_n = f(x_{n - 1}) for n > 1

hvor f er en funktion. Hvis x_i så er et fikspunkt for f så er f(x_i) = x_i hvorfor x_{i + 1} = f(x_i) = x_i hvilket giver at for alle j ≥ i vil x_j = x_i eller med andre ord følgen bliver konstant fra dette trin hvilket du godt kan tænke på som "kendt for altid".

Følgen vil ligne noget ala:
(1, x₂, x₃, ..., x_i, x_i, x_i, x_i, ..... )

men igen jeg er ikke sikker på hvordan det relatere sig til mandelbrotmængden.

Okay, tak for et meget brugbart og uddybende svar.
Mht. om det relaterer sig til mandelbrotmængden, kan man vel sige at de generelle antagelser du laver er for funktioner som itereres (?), hvilket i bund og grund også er det som mandelbrotmængden er.

Jeg tænkte også lige på, om det tal-plan som enhver kompleks funktion bliver afbildet på, i princippet burde være 4-dimensionelt? Kan man så sige at dm(f) og vm(f) er et kombineret plan?

 

Som sagt så kender jeg ikke mandelbrotmængden særlig godt, så hvis du vil diskutere mængden vil det (en anden gang) være en god idé at inkludere en definition og andet du finder relevant :) - Ifølge wikipedia så er det c ∈ C der opfylder at følgen givet ved

ikke divergerer (alternativt er begrænset). Og ja den følge man betragter her er defineret rekursivt, så det omkring fikspunkter gælder her. Bemærk dog at der vil også være c ∈ C som ligger i mandelbrotmængden men som ikke giver anledning til fikspunkter.

Jeg forstår ikke helt dit spørgsmål omkring talplaner. Om C er en-dimensionalt eller to-dimensionalt afhænger af om du ser det som et vektorrum over C eller over R. Under alle omstændigheder så er det dog rimelig naturligt at lave identifikationen mellem C og R².

dm(f) og vm(f) er som udgangspunkt to helt forskellige størrelser - i hvert fald som jeg tænker på dem.
Hvis vi har en funktion f : dm(f) → vm(f) så er dm(f) det sted du starter (kald det evt. verden 1) og det sted du slutter er så vm(f) (kald det evt. verden 2). Verden 1 og verden 2 er så forbundet via f, men umiddelbart har de to verdener ikke noget med hinanden at gøre, så en afbildning (funktion) f : C → C afbilder blot et komplekst tal z ind i et andet komplekst tal w hvor begge verdener her altså er en-dimensionelle (eller to-dimensionelle hvis du tænker på C som et vektorrum over R).

Ja det vil jeg huske til en anden gang, tusind tak!

Det hele giver meget god mening, men kan du forklare mig hvorfor det ikke er alle komplekse tal c i mandelbrotmængden
der har anledning til et fikspunkt?

Lad C være de komplekse tal og M mandelbrotmængden. Hvis du tager c i C og spørger ligger c i M, så skal du undersøge om følgen (z_n), hvor z₀ = 0 og z_n = z_{n - 1}² + c, er begrænset (ikke divergerer). Hvis det er tilfæjet så er c i M.

Hvis w i C er et fikspunkt for f_c(z) = z² + c OG der findes et m i N så z_m = w (sidste betingelse er vigtig fordi der kan godt være fikspunkter uden at din følge nogensinde rammer fikspunktet), så vil følgen blive konstant fra dette tring. Dette giver konvergens som er stærkere en begrænset.

For at svare på spørgsmålet så kig på c = -1. Følgen dannet ud fra -1 er skiftevis 0 og -1, så den er begrænset og -1 ligger derfor i M. Funktionen f_c(z) = z² - 1 har selvfølgelig stadig et fikspunkt (kan f.eks. fås ved at løse ligningen z² - z - 1 = 0), men følgen rammer ikke fikspunktet og fikspunktet er derfor ikke væsentligt når vi skal afgøre om c = -1 ligger i M.

Så man kan måske godt sige at c i C altid giver anledning til fikspunkter for f_c(z) = z² + c (følger af at ligningen z² - z + c = 0 altid vil have mindst en kompleks løsning), men det er bare ikke altid fikspunkter du skal bruge for at afgøre om dit c er i M.