Hvorfor har et reelt tal n rødder?

Det har det heller ikke med mindre du medregner komplekse tal og regner dobbeltrødder for forskellige. Derimod har det maksimalt n rødder. Det er for kompliceret til at du kan forstå det. Det hører til universitets niveau

#1 Så er det gået noget tilbage med gymnasiestoffet. Vi havde det i gymnasiet. Det er omtalt i Kristensen og Rindungs Matematik for Gymnasiet.

At der højst kan være n rødder i et n'tegradspolynomium ses af, at polynomiet kan skrives på formen a_n(x-r₁)(x-r₂)...(x-r_n), hvor r₁,r₂,...,r_n er de n rødder. Hvis der var flere rødder, ville ma få et polynomium med hjere grad, idet hver parentes giver et x til højestegradsleddet. Hvis en rod er multibel, skal den med lige så mange gange, som multipliciteten angiver.

Det blev også vist, at i de komplekse tal har et n'tegradspolynomium n rødder. Man starter med at "fjerne" roden 0, hvis den forekommer. Hvis r er roden 0 i polynomiet P(z), kan det skrives som P(z) = (z-0)*Q(z) = x*Q(z). Q(z) er så et polynomium af (n-1)'te grad. Denne poces gentages, til der ikke er flere rødder med værdi 0.

Vi ser nu på et polynomium, der ikke har 0 som rod. Det kaldes i det følgende for P(z), og det har grad n. Polynomiet vil nu have et konstantled, C, der ikke er 0. Nu findes summen af de numeriske værdier af koefficienterne. Den kaldes R₀. Hvis z skrives på  formen R*cos(v)+iR*sin(v) og v gennemløber P(z) en bane, der løber n gange rundt om C. Hvis R = R₀, vil den også gå rundt om 0. Hvis vi nu "trækker elestikken sammen" ved at reducere R, bliver banen mindre og vil til sidst ikke gå rundt om 0, kun om C. Da den går n gange rundt, må den have passeret 0 n gange, så der må være n rødder.

Det er mere end 50 år siden, jag havde det i gymnasiet, men jeg har stadig et indre billede af tegningen af denne kurve i bogen.

Mange tak det hjalp mig rigtig meget! :) 

God jul til jer begge!