Matematik

differentialligning

02. januar 2018 af marie9999 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, nogen der kan hjlælpe med delopgave a?

Opgaven er vedhæftet som fil

Svar #1
02. januar 2018 af marie9999 (Slettet)

her er opgaven

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-01-02 kl. 12.43.54.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. januar 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. januar 2018 af mathon

…det gentages fra
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1791893#1791903

basisviden på A-niveau
er:
     ^{differentialligningen}   $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; a>0\; \;\wedge0<y<M \; \;$
     ^{har løsningen}
   $\small \small \small y=f(x)=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

Svar #4
02. januar 2018 af marie9999 (Slettet)

forstår ikke helt hvordan jeg skal brugde det..

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. januar 2018 af mathon

$\small \textup{som i det aktuelle tilf\ae lde}$
$\small \textup{giver:}$
^{differentialligningen}   $\small \small \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=a\cdot N\cdot (90-N)\; \; \; \; \; a>0\; \;\; \; \wedge\; \;\; \; 0<N<90 \; \;$
     ^{har løsningen}
   $\small \small N(t)=\frac{90}{1+Ce^{-a\cdot 90\cdot \cdot t}}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. januar 2018 af mathon

$\small \textup{som med tabeloplysningerne}$
$\small \textup{giver:}$
$\small \small \small 3=\frac{90}{1+C}$

$\small \small \small 1+C=\frac{90}{3}$

$\small \small \small C=29$

$\small \small \small N(t)=\frac{90}{1+29e^{-a\cdot 90\cdot t}}$

$\small \small \small \small N(11)=\frac{90}{1+29e^{-a\cdot 90\cdot 11}}=43$

Svar #7
02. januar 2018 af marie9999 (Slettet)

hvordan kommer jeg frem til løsningen? kunne du uddybe lidt mere?

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. januar 2018 af mathon

$\small \textup{...hvoraf \textbf{\color{Red} a} kan beregnes.}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. januar 2018 af mathon

$\small \textup{Tiden for st\o rste v\ae ksthastighed:}$
$\small \frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=0$

$\small a\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot \left ( 90-2N \right )=0\; \; \; \; \; \;a>0\; \; \; \; \wedge\; \; \; \; \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}>0$

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. januar 2018 af mathon

detaljer i #5:
   $\small y{\,}'=a\cdot y\cdot (M-y)\; \; \; \; \; a>0\; \;\wedge \; \; 0<y<M$
her sættes
   $\small y(x)=\tfrac{1}{u(x)}$
hvoraf:
   $\small \left (\tfrac{1}{u} \right ){}'=a\cdot \tfrac{1}{u}\cdot \left ( M-\tfrac{1}{u} \right )$

$\small -\tfrac{1}{u^2}\cdot u{}'=a\cdot \tfrac{1}{u}\cdot \left ( M-\tfrac{1}{u} \right )$

$\small \small - u{}'=a\cdot \left ( Mu-1 \right )$

$\small u{}'=a-aMu$

$\small u{}'+aMu=a$ som løst med panserformlen
giver:
$\small u=e^{-aMx}\cdot \int a\cdot e^{aMx}\, \mathrm{d}x$

$\small u=e^{-aMx}\cdot \left ( \tfrac{a}{aM}\cdot e^{aMx}+C_1 \right )$

$\small u=e^{-aMx}\cdot \left ( \tfrac{1}{M}\cdot e^{aMx}+C_1 \right )$

$\small u=\tfrac{1}{M}+C_1e^{-aMx}$

$\small u=\tfrac{1+Ce^{-aMx}}{M}$ $\small \small C=M\cdot C_1$

$\small \frac{1}{u}=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

$\small y=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.