Matematik

Differentialligning

17. januar 2018 af pokemonorm - Niveau: A-niveau

Hejsa Kære SP
Jeg har lige 2 spørgsmål til følgende opgave.
Antallet af N af individer i en bestemt population forventes at vokse logistisk. Det antages derfor, at N er løsning til en differentialligning af typen dy/dx=ay(M-y),
Hvor tiden t angiver af år efter starttidspunktet.
Til starttidspunktet t=0 er der 10000 individer i populationen, til tidspunktet t=10 forventes populationen at være vokset til 32000 individer, og den øvre grænse for antallet af individer i populationen forventet at være M=50000.

1) Bestem en forskrift for N som funktion af t. (Har set Mathon's version på SP, men jeg forstår det ikke lige helt)

2) Angiv populationsens væksthastighed til det tidspunkt, hvor antallet af individer i populationen er 45000.

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. januar 2018 af mathon

…er løsning til differentialligningen $\small \frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}=a\cdot N\cdot \left ( M-N \right )\; \; \; \; a>0\; \; \wedge\; \; 0<N<M$

$\small \textup{L\o sningen til }\frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}=a\cdot N\cdot \left ( M-N \right )\; \; \; \; a>0\; \; \wedge\; \; 0<N<M$

$\small \textup{er:}$
$\small N(t)=\frac{M}{1+Ce^{-\left (a\cdot M \right )\cdot t}}$

$\small \textup{specifikt:}$
$\small N(t)=\frac{5\cdot 10^4}{1+Ce^{-\left (a\cdot M \right )\cdot t}}$
$\small \textup{samt}$
$\small N(0)=\frac{5\cdot 10^4}{1+C}=10^4$

$\small 1+C=5$

$\small C=4$
$\small \textup{dvs}$
$\small N(t)=\frac{5\cdot 10^4}{1+4e^{-\left (a\cdot M \right )\cdot t}}$

$\small \textup{og}$
$\small N(10)=\frac{5\cdot 10^4}{1+4e^{-\left (a\cdot 5\cdot 10^4 \right )\cdot 10}}=3{.}2\cdot 10^4$

$\small 1+4e^{-\left (a\cdot 5\cdot 10^4\cdot 10 \right )}=\frac{5}{3{.}2}$

$\small 4e^{-\left (a\cdot 5\cdot 10^4\cdot 10 \right )}=\frac{5-3{.}2}{3{.}2}$

$\small e^{-\left (a\cdot 5\cdot 10^4\cdot 10 \right )}=\frac{5-3{.}2}{12{.}8}$

$\small e^{\left (a\cdot 5\cdot 10^5 \right )}=\frac{12{.}8}{5-3{.}2}$

$\small 5\cdot 10^5\cdot a =\ln\left (\frac{12{.}8}{5-3{.}2} \right )$

$\small a=\frac{\ln\left ( \frac{12{.}8}{5-3{.}2} \right )}{5\cdot 10^5}=3{.}9233\cdot 10^{-6}$

$\small \textup{hvoraf:}$
$\small N(t)=\frac{5\cdot 10^4}{1+4e^{-0{.}196166\cdot t}}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. januar 2018 af mathon

$\small \small \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=3{.}9233\cdot 10^{-6}\cdot N\cdot \left ( 5\cdot 10^4-N \right )$

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.