Matematik

Hjælp til vektorer

24. januar 2018 af annahansen2 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har brug for hjælp til opgaven på vedhæftet billede, men jeg har svært ved at komme i gang. Er der nogle, der kan fortælle mig, hvilke formler eller lign jeg skal bruge evt til nogle af opgaverne.

Jeg har prøvet at beregne a, men jeg får 4 hvilket er forkert.

Facit er:

a = -2

b = -3x + 5y + 4z = 0

c = 12

d = (-11)²+ (y-2)²+ (z+6)²= 144

e = (3,-2,2)

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-01-24 kl. 22.03.16.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. januar 2018 af ringstedLC

a) Så må du prøve igen. Jeg får:

$\begin{align*} \vec {AB}&=\begin {pmatrix} b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3 \end{pmatrix}=\begin {pmatrix} 2,2,-1 \end{pmatrix}\\ \vec {OA}&=\begin {pmatrix} 1,-1,2 \end{pmatrix}\\ \vec{a}\cdot\vec{b}&=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\\ \vec{AB}\cdot\vec{OA}&=2\cdot 1+2\cdot (-1)+(-1)\cdot 2=\;?\\ \end{align}$

b) Tværvektoren til en af vektorerne og et af punkterne indsættes i planets ligning og omskrives:

$\begin{align*} a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)&=0\\ ax+by+cz+d&=0 \end{align}$

c) Afstandsformlen.

d) r = c) og C er centrum indsættes i kuglens ligning.

$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2&=r^2 \end{align}$

e) Kuglen omskrives til:

$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2-r^2&=0 \end{align}$

og røringspunktet findes ved at sætte kuglen og β lig hinanden:

$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2-r^2&=0\\ 2x+y-2z&=0\Downarrow\\ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2-r^2&=2x+y-2z \end{align}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. januar 2018 af mathon

e)
         $\small \textup{Radius for kuglen med centrum C(11,2,-6) og }\beta \textup{ som tangentplan}$
         $\small \textup{blev i c) beregnet til r=12.}$

         $\small \textup{Det bem\ae rkes, at C ligger i }\beta 's\textup{ positive halvrum. }$
         $\small \textup{Derfor er - n\aa r P er r\o ringspunktet - retningen for vektor }\overrightarrow{CP}\textup{ negativ.}$

$\small \textup{Heraf f\o lger:}$
$\small \overrightarrow{CP}=-r\cdot \tfrac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=-\tfrac{r}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\cdot \overrightarrow{n}$

$\small \textup{og dermed:}$
$\small \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}$

$\small \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 11\\2 \\ -6 \end{pmatrix}-\frac{12}{3}\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\-2 \\ 2 \end{pmatrix}$

         $\small \textup{hvoraf:}$
                               $\small P=\left ( 3,-2,2 \right )$      $\small \textup{da et punkt har samme koordinater som sin stedvektor.}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. januar 2018 af mathon

...
$\small \textup{Det halvrum, som en vektorrepr\ae sentant for }\beta 's\textup{ normalvektor } \overrightarrow{n} \textup{ med begyndelsespunkt i P peger ind i, }$
$\small \textup{er regnet positivt.}$

Svar #4
25. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#1 Jeg forstår stadig ikke hvordan jeg kan beregne opgave b.

Hvordan kan man bestemme tværfaktoren til tredimensionelle vektorer?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #5
25. januar 2018 af mathon

#4
$\small \small \textup{Skalarprodukt og tv\ae rvektor er to forskellige begreber.}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
25. januar 2018 af mathon

$\small \textup{Tv\ae rvektor er ikke defineret i 3D. }$

Svar #7
25. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#4 Ja, men #1 skriver:

b) Tværvektoren til en af vektorerne og et af punkterne indsættes i planets ligning og omskrives og det forstår jeg ikke hvordan jeg gør.

Er der nogle der kan fortælle mig hvordan jeg løser opgave b?

Brugbart svar (1)

Svar #8
25. januar 2018 af mathon

b)

         $\small \textup{En normalvektor til }\alpha$
         $\small \textup{ er: }$
                                $\small \overrightarrow{n}=\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix} 1\\-1 \\ 2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 3\\1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\5 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\small \alpha 's\textup{ ligning er:}$
$\small \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{OP}=0$ $\small \textup{n\aa r P(x,y,z) er et vilk\aa rligt punkt i }\alpha .$

$\small \begin{pmatrix} -3\\5 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=0$

$\small -3x+5y+4z=0$

Svar #9
25. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#8 Hvordan får du (-3,5,4), altså ganger du eller dividere. Jeg har lidt svært ved at se, hvordan du får de tal.

Brugbart svar (1)

Svar #10
25. januar 2018 af fosfor (Slettet)

han tager krydsproduktet

Svar #11
25. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#10 Mange tak. Det giver mere mening

Svar #12
25. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

Jeg er igang med opgave c nu og jeg skal bruge afstandsformlen

$a=2$ $b=1$ $c=-2$ $d=?$

$x_1=11$ , $x_1=2$ , $z_1=-6$

Jeg er i tvivl om hvad d er. Er der nogle, der ved det?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #13
25. januar 2018 af fosfor (Slettet)

du kan omskrive planligningen til

2x+y-2z+0=0

ved at plusse med 0 på begge sider

Svar #14
25. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#13 Det forstår jeg ikke.

Jeg prøver at følge eksemplet her http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/afstand-mellem-punkt-og-plan

Det ser let og overskueligt ud, men hvad er d i min opgave?

Brugbart svar (1)

Svar #15
25. januar 2018 af ringstedLC

Først og fremmest; undskyld for min brøler med tværvektoren. i 3D hedder det krydsproduktvektoren. Det er dog en alligevel en vektor, der står vinkelret på begge vektorerne, og derfor buges den som normalvektor.

#14 I #13 dannes d ved at lægge 0 til på begge sider.

Tænk på 2.gradsligningen: 2x² + 2x = 0 . Hvordan løses den uden c? Jeg tror, du kan se, hvad der menes.

Ellers se:

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/planens-ligning

hvad d er. Når d er 0 skærer planen (0,0,0) ligesom 2x² + 2x = 0 skærer (0,0).

Svar #16
25. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#15 Kan det passe at d = 1?

Brugbart svar (1)

Svar #17
26. januar 2018 af mathon

c)
$\small \small d\left (\beta ,C(11,2,-6) \right )=\frac{\left | 2\cdot 11+2-2\cdot (-6) \right |}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=\frac{36}{3}=12$

Brugbart svar (1)

Svar #18
26. januar 2018 af mathon

$\small \textup{Kugleligning:}$

$\small r=d=12$        $\small \textup{beregnet i c).}$

             $\small \small \left (x-11 \right )^2+\left (y-2 \right )^2+\left (x+6 \right )^2=12^2$

Skriv et svar til: Hjælp til vektorer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.