Matematik

Integration og Gamma-funktion

20. februar 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Er i gange med en opgave, hvor man skal bruge gamme-funktion.

Opgaven lyder:

Let $\nu$ be the measure on $(0 , \infty)$ with density:

$f(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \ e^{-\frac{1}{x}} \ \ x\geq 0$

w.r.t. the Lebesgue measure.
Show that:

$\nu((0, \infty)) = \sqrt{\pi}$
Try substitution with $h(x) = 1/\sqrt{x}$
.
Jeg bruger transformationssætning:
$(1) \ \int_A \phi(h(x))\ |h'(x)| dx = \int_{h(A)} \phi(y)dy$
og
$(2) \ \nu(A)=\int_A f d\mu$
Der vides, at
$|h'(x)|= \frac{1}{2 \ x^{\frac{3}{2}}} \ \ \ \text{og} \ \ \ \phi(h(x)))= 2 \ e^{-1/x}$

$\bigstar = \nu((0,\infty)) = \int_{(0, \infty)} f(x) d\mu = \int_{(0, \infty)} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \ e^{-\frac{1}{x}} \ d\mu\\ \ \ \ \ = (1) \ \int_{0, \infty} 2 \ e^{-\frac{1}{x}} \frac{1}{2 \ x^{\frac{3}{2}}} dx = \int_{0}^{\infty} 2 \ e^{-y^2}dy = \int_{-\infty}^{\infty} \ e^{-y^2}dy \\ = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2}} \ \sqrt{2} \ e^{\left( \frac{y \ \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right )^2}dy = \frac{1}{ \sqrt{2}} \ \int_{-\infty}^{\infty} \ \sqrt{2} e^{\left( \frac{y \ \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right )^2}dy$
For
$t = y \ \sqrt{2}$
$\bigstar = \frac{1}{ \sqrt{2}} \ \int_{-\infty}^{\infty} \ \sqrt{2} e^{\left( \frac{y \ \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right )^2}dy = \frac{1}{ \sqrt{2}} \ \int_{-\infty}^{\infty} \ e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \text(ved \ ikke)$

Her skal bruges gamma-funktionen.

Vil nogen derude hjælpe med at bruge gamma-funktion i det sidste trin?
På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. februar 2018 af SådanDa

En måde at løse det sidste integral på, er at se at funktionen er meget tæt på tætheden for en standard normalfordeling. Altså du ved at

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{t^2}{2}} \ \textup{d}t = 1$

Altså forudtaget at du kender tætheden for normalfordelingen.

Svar #2
20. februar 2018 af Rossa

Tak for hjælpen, troede at skulle bruges Gamma-funktionen

Skriv et svar til: Integration og Gamma-funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.