Matematik

bestem ligningerne for de to tangenter til cirklen

25. februar 2018 af soer381k - Niveau: A-niveau

C: (x-2)^2 + (y-4)^2 = 40

der er parallelle med linjen m med ligningen 3x+y-2=0

Brugbart svar (1)

Svar #1
25. februar 2018 af peter lind

Bestem en retningsvektor for den givne linje v. Linjen skærer cirklen i punkterne CP = ±r*v/|v|

Svar #2
25. februar 2018 af soer381k

#1
Bestem en retningsvektor for den givne linje v. Linjen skærer cirklen i punkterne CP = ±r*v/|v|

retningsvektoren vill i dette tilfælde være (-1,3) men hvordan skal jeg løse CP?

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. februar 2018 af peter lind

Den skal du beregne CP = ±r*v/|v| r er radius i cirklen

Svar #4
25. februar 2018 af soer381k

kan du huske hvordan man finder radius?

Svar #5
25. februar 2018 af soer381k

er det 6,324 ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. februar 2018 af peter lind

Hvis det er radius du spørger om, så er den kvrod(40)

Svar #7
26. februar 2018 af soer381k

så CP1 = 6,324*(-1,3)/|(-1,3)|

CP2 = -6,324*(-1,3)/|(-1,3)|

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. februar 2018 af ringstedLC

#1
Bestem en retningsvektor for den givne linje v. Linjen skærer cirklen i punkterne CP = ±r*v/|v|

Hvis du bestemmer en normalvektor n_m for m og så forskyder centrum med ± r • n_m / |n_m| fås de to tangentpunkter.

Svar #9
27. februar 2018 af soer381k

#8
#1
Bestem en retningsvektor for den givne linje v. Linjen skærer cirklen i punkterne CP = ±r*v/|v|

Hvis du bestemmer en normalvektor n_m for m og så forskyder centrum med ± r • n_m / |n_m| fås de to tangentpunkter.

og normalvektoren vil for m = 3x+1y-2=0 være (3,1)

og radius r for cirklen er r = kvrod(40) = 6,324

hvordan sætter jeg det ind på formlen så jeg kan få et resultat?

Brugbart svar (1)

Svar #10
27. februar 2018 af fosfor (Slettet)

Cirklens ligning er givet:
(x-2)^2 + (y-4)^2 = 40

Linjen m's ligning er
3x + y - 2 = 0

Alle linjer der er parallelle med m har en ligning på formen
3x + y + d = 0 (f.eks. er m parallel med sig selv, og m fås med d = -2)

For at finde skæringerne mellem cirklen og en linje med ovenstående ligning isoleres y i linjens ligning:
y = -3x - d

Dette substitueres i cirklens ligning for at finde skæringerne
(x-2)^2 + (-3x - d - 4)^2 = 40
(x-2)^2 + (-3x - d - 4)^2 - 40 = 0 trækker alt over til venstre
10 x^2 + (20 + 6 d) x + 8 d + d^2 - 20 ganger ud

som er en andengradsligning med a = 10 , b = 20 + 6d , c = 8d + d^2 - 20
Diskriminanten er
b² - 4ac = (20 + 6d)^2 - 4*10*(8d + d^2 - 20)
= 1200 - 80 d - 4 d² gang ud

Der er præcis en skæring, hvis diskriminanten er 0
1200 - 80 d - 4 d² = 0 => d = 10 eller d = -30

Tangenternes ligninger er derfor
3x + y + 10 = 0
3x + y - 30 = 0

Brugbart svar (1)

Svar #11
27. februar 2018 af fosfor (Slettet)

Cirklens centrum er (2, 4).

Tangenternes ligning er
3x + y + d = 0

Afstanden fra centrum til linje
$A=\frac{|a x_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot 2+1\cdot 4+d|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{|10+d|}{\sqrt{10}}$

Afstanden (fra centrum til tangent) i anden skal være lig radius i anden
$\\A^2 =\frac{|10+d|^2}{\sqrt{10}^2} = \frac{(10+d)^2}{10}= 40 \\\text{ }\hspace{3cm} (10+d)^2= 400 \\\text{ }\hspace{3.45cm} 10+d= \pm20$

Dvs. d=-30 eller d=10

Skriv et svar til: bestem ligningerne for de to tangenter til cirklen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.