Matematik

Reparametrisering af gammafordeling

27. februar 2018 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Reparametriser tætheden for Γ-fordelingen med formparameter λ og skalaparameter β, sådan at de indgående parametre er middelværdi og varians.

------------------------------------------------------------------

Det jeg ved:
Gammafordelingen har formen

$f(x)=\frac{1}{\Gamma(\lambda)\beta^\lambda}x^{\lambda-1}e^{-\frac{x}{\lambda}},\quad \theta=(\lambda,\beta)$

Hvor λ er formparametren og β er skalaparameteren.

Middelværdien E[X] = λ·β og Variansen Var[X] = λ·β².

------------------------------------------------------------------

Mit spørgsmål er:
Hvad bliver jeg bedt om? Hvad vil de have mig til? Aner ikke hvordan jeg skal gå i gang... Kender i nogen videoer der kan forklare mig det?

Svar #1
27. februar 2018 af Stats

Er det netop at

θ₁ = λβ , θ₂ = λβ² = θ₁·β

Bliver

λ = θ₁/β , β² = θ₂/λ = θ₂/(θ₁/β) = (βθ₂)/θ₁ ⇒ β = θ₂/θ₁

For λ må vi så have at λ = θ₁/(θ₂/θ₁) = θ₁²/θ₂.

Derfor bliver tætheden

$f_{\lambda,\beta}(x)=\frac{1}{\Gamma(\lambda)\beta^\lambda}x^{\lambda-1}e^{-\frac{x}{\lambda}},\quad \theta=(\lambda,\beta)\\ \widetilde{f}_{\theta_1,\theta_2}(x)=\frac{1}{\Gamma\left(\frac{\theta_1^2}{\theta_2}\right)\left(\frac{\theta_2}{\theta_1} \right )^{\left(\frac{\theta_1^2}{\theta_2}\right)}}\cdot x^{\left(\frac{\theta_1^2}{\theta_2}\right)-1}\cdot e^{-\frac{x}{\left(\frac{\theta_1^2}{\theta_2}\right)}}$

Som kan reduceres til

$\frac{\theta_1^{\left(\frac{\theta_1^2}{\theta_2}\right)}}{\Gamma\left(\frac{\theta_1^2}{\theta_2}\right)\theta_2^{\left(\frac{\theta_1^2}{\theta_2}\right)}}\cdot x^{\frac{\theta_1^2-\theta_2}{\theta_2}}\cdot e^{-\frac{x\theta_2}{\theta_1^2}}$

Er det hvad jeg skulle?

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #2
27. februar 2018 af Stats

Find varianskoefficienten for en Γ-fordeling med formparameter λ og skalaparameter β. Reparametriser tætheden for Γ-fordelingen, sådan at de indgående parametre er middelværdi og varianskoefficient.

----------------------------------------------------

Jeg ved at variantionskoefficienten beregnes ved, VC[X] = SD[X]/E[X] altså, spredning delt med middelværdi.

Anvender jeg samme metode som før, så får jeg:

$VC[X] = \frac{\sqrt{Var[X]}}{E[X]}=\frac{\sqrt{\lambda\beta^2}}{\lambda\beta}=\frac{\sqrt{\lambda}}{\lambda}$

Vi har derfor

θ₁ = (√λ)/λ ⇒ θ₁² = λ/λ² ⇒ 1/(θ₁²) = λ , θ₂ = λβ = β/(θ₁²) ⇒ β = θ₂·(θ₁²)

Dermed får vi

$f_{\theta_1,\theta_2}(x)=\frac{1}{\Gamma(\theta_1^{-2})(\theta_2\theta_1^2)^{\theta_1^{-2}}}x^{\theta_1^{-2}-1}e^{-x\theta_1^2}\\$

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #3
27. februar 2018 af fosfor (Slettet)

#0 Du bliver bedt om at udtrykke form/skala-parameter ved mean, var og VC, og så substituerer udtrykkene i tætheden som i #1/#2
I stedet for
$f(x)=\frac{1}{\Gamma(\lambda)\beta^\lambda}x^{\lambda-1}e^{-\frac{x}{\lambda}},\quad \theta=(\lambda,\beta)$
skulle der vist stå
$f(x)=\frac{1}{\Gamma(\lambda)\beta^\lambda}x^{\lambda-1}e^{-\frac{x}{\beta}},\quad \theta=(\lambda,\beta)$
og tilsvarende i de følgende formler

Skriv et svar til: Reparametrisering af gammafordeling

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.