Matematik
Abstrakt Algebra
Hej derude.
Jeg prøver at løse en gammel eksamensopgave, men det lykkes ikke.
Jeg har løst en del af opgaven, men det kan jeg alligevel ikke.
Opgaven Lyder:
Kvaterniongruppen Q16 af orden 16 er frembragt af elementer r og s af orden 8 og 4, henholdsvis, og der gælder følgende relationer mellem r og s:
og
Vis, at undergruppen N frembragt af er normal i Q16 og, at er isomorf med diedergruppen af orden 8.
Mit forsøg på opgaven.
Diedergruppen af orden 8 skrives som:
Der har jeg checke-et, at
Så konkluders jeg at N er normal i Q16.
Nu bestemmes kvotientgruppen defineret som
Altså:
Jeg definerer en funktion
Som
Jeg øsnker at vise at afbildning er homomorfe og bijektivt, men det kan jeg ikke.
Jeg ved ikke hvis funktionen kunne defineres anderledes.
Vil nogen derude hjælpe med at løse opgaven?
På forhånd tak
kvotientgruppe
Opgaven lyder
Svar #1
25. marts 2018 af Drunkmunky
Definer afbildningen φ:Q16 → D8 ved φ(a)=a hvilket er en homomorfi, thi givet a=sirj og b=skrl er
Bemærk, at φ er veldefineret da billedet altid ligger i D8, og ydermere er φ surjektiv, thi givet a=sirj med 0≤i≤1 og 0≤j≤3 i D8 så findes elementet i Q16. Betragt nu kernen af afbildningen, i.e.
hvilket giver, pr. den første isomorfisætning, at Q16/N≈Im(φ)=D8, som ønsket. Bemærk, at dette løser begge dele af opgaven, thi kernen af en homomorfi altid er en normal undergruppe af gruppen, og det giver den ønskede isomorfi.
Skriv et svar til: Abstrakt Algebra
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.