Matematik

Abstrakt Algebra

24. marts 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Jeg prøver at løse en gammel eksamensopgave, men det lykkes ikke.
Jeg har løst en del af opgaven, men det kan jeg alligevel ikke.

Opgaven Lyder:

Kvaterniongruppen Q16 af orden 16 er frembragt af elementer r og s af orden 8 og 4, henholdsvis, og der gælder følgende relationer mellem og s:

s^2 = r^4  og     srs^{-1}= r^{-1}

Vis, at undergruppen N frembragt af s^2=r^4 er normal i Q16 og, at   Q_{16}/N   er isomorf med diedergruppen af orden 8.
Mit forsøg på opgaven.
N = <s^2> =<r^4>= \{ 1,s^2 \}= \{ 1,r^4 \}
Q_{16}= < s,r | s^4=r^8=1, \ srs^{-1}= r^{-1 }\ \text{eller}\ sr=r^{-1}\ s, s^2=r^4 >
Q_{16}= \{1,r,r^2,r^3,r^4,r^5,r^6,r^7,s,sr,sr^2,sr3,sr^4,sr^5,sr^6,sr^7 \}
Diedergruppen af orden 8 skrives som:
D_{8}= \{1,r,r^2,r^3,s,sr,sr^2,sr^3 \}
Der har jeg checke-et, at
 \forall q \in Q_{16} \ \ \text{at der gaelder} \ \ q N q^{-1}= N
Så konkluders jeg at N er normal i Q16.
Nu bestemmes  kvotientgruppen defineret som Q_{16}/N= \{ q \ N: q\in Q_{16} \}
Altså:
Q_{16}/N= \{ \{1,s^2 \}, \{r,rs^2 \}, \{r^2,r^2s^2 \}, \{r^3,r^3s^2 \}, \{s,s^3 \}, \{sr,s^3r \} , \{sr^2,s^3r^2 \}, \{sr^3,s^3r^3 \} \} \\ = \{ \bar{1}, \bar{r} , \bar{r^2} , \bar{r^3}, \bar{s}, \bar{sr}, \bar{sr^2}, \bar{sr^3}\}Jeg definerer en funktion
\phi:Q_{16}/N \to D_8      Som
 \phi(\bar{s}^i \bar{r}^j)= s^i r^j
Jeg øsnker at vise at afbildning er homomorfe og bijektivt, men det kan jeg ikke.
Jeg ved ikke hvis funktionen \phi kunne defineres anderledes.
Vil nogen derude hjælpe med at løse opgaven?
På forhånd tak 

kvotientgruppe
Opgaven lyder


Brugbart svar (1)

Svar #1
25. marts 2018 af Drunkmunky

Definer afbildningen φ:Q16 → D8 ved φ(a)=a hvilket er en homomorfi, thi givet a=sirj og b=skrl er

\varphi(ab)=\varphi(s^{i}r^{j}s^{k}r^{\ell})=s^{i}r^{j}s^{k}r^{\ell}=\varphi(a)\varphi(b)

Bemærk, at φ er veldefineret da billedet altid ligger i D8, og ydermere er φ surjektiv, thi givet a=sirj med 0≤i≤1 og 0≤j≤3 i D8 så findes elementet i Q16. Betragt nu kernen af afbildningen, i.e.

\ker(\varphi)=\lbrace x\in Q_{16}\ | \ \varphi(x)=1\rbrace=\lbrace s^{i}r^{j}\ | \ s^{i}r^{j}=1\rbrace=\lbrace 1,s^{2}\rbrace=N

hvilket giver, pr. den første isomorfisætning, at Q16/N≈Im(φ)=D8, som ønsket. Bemærk, at dette løser begge dele af opgaven, thi kernen af en homomorfi altid er en normal undergruppe af gruppen, og det giver den ønskede isomorfi.


Svar #2
25. marts 2018 af Rossa

Mange tak for hjælpen


Skriv et svar til: Abstrakt Algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.