Matematik

Hvorfor beviser vi regneregler for differentiation mht. ét punkt?

08. juni 2018 af jse38 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej Studieportalen

Jeg har undret mig over, hvorfor vi i (nogle) lærebøger beviser regneregler for differentation i fht. kun ét punkt, $x_0$ eksempelvis. Hvad er fordelen ved dette, i stedet for blot at sige;

Antag at f og g er differentiable i $I$ , som er en delmængde af de reelle tal. Det gælder, at

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

Hvor $x \in I$ .

Ovenstående 'dækker' jo mere, end blot at fortælle, at regnereglen gælder for ét punkt:

$(f(x_0)+g(x_0))'=f'(x_0)+g'(x_0)$

Jeg har også fundet eksempler, hvor sætningen skrives generelt op for alle x. Men i selve beviset, så bruger vi pludselig kun ét punkt $x_0$ . Eksempelvis:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} - \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}$

og næste - og sidste - skridt i beviset

$(f(x)-g(x))' = f'(x)-g'(x)$

Hvad er ræsonnementet i at gå fra $x_0$ til at have bevist det for alle x lige pludselig? Og kunne vi så ikke lige så godt have bevist det for alle x og helt undlade $x_0$ ?

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. juni 2018 af SådanDa

Ideen er at hvis man kan vi det for et vilkårligt valgt punkt x₀ i I, så må det gælde for alle punkter i I.

Da man i beviset ikke antager andet om punktet x₀end at det ligger i I, kan man jo "genbruge" beviset for hvilket som helst andet punkt x₁ fra I.

Altså, hvis man vil bevise en egenskab for alle tal fra en mængde, er det nok at vise at egenskaben gælder for et hvilket som helst vilkårligt tal fra mængden.

"Og kunne vi så ikke lige så godt have bevist det for alle x og helt undlade x₀?" - jeg ved ikke helt hvordan du ville bevise det for alle x på en gang? Det kan man helt sikkert godt, men jeg tror ikke umiddelbart det er så simpelt, hvis du har en god ide er du velkommen til skrive den her!

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. juni 2018 af guuoo2 (Slettet)

Du skriver x₀ og Δx. Du kan sagtens droppe x₀ og kalde dem for x og Δx.

Når nogle skriver x₀ er det typisk fordi de kalder lim-variablen for x og lader den gå mod x₀.

Svar #3
08. juni 2018 af jse38 (Slettet)

#1 "Og kunne vi så ikke lige så godt have bevist det for alle x og helt undlade x₀?" - jeg ved ikke helt hvordan du ville bevise det for alle x på en gang? Det kan man helt sikkert godt, men jeg tror ikke umiddelbart det er så simpelt, hvis du har en god ide er du velkommen til skrive den her!

Kan man ikke blot sige, at man antager f og h er differentiable i hele definitionsmængden. Vi laver en ny funktion h(x)

$h(x)=f(x)+g(x)$

og beviser at $h'(x)=f'(x)+g'(x)$ således

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}$

$= \frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-(f(x)+g(x)))}{\Delta x}$

$= \frac{f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$

$= \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} + \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$

og dermed

$\lim_{\Delta x \to \infty} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to \infty} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to \infty} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$

$h'(x) = f'(x)+g'(x)$

For alle $x \in Dm(f) \cap Dm(g)$

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. juni 2018 af SådanDa

Men her gør du jo præcis det samme? Du vælger x vilkårligt, og viser at det gælder for dette x. Da x er valgt vilkårligt må det gælde for alle x.

Om du kalder det x eller x₀ er underordnet, du vælger et vilkårligt element, holder det fast, og viser dit udsagn.

Svar #5
08. juni 2018 af jse38 (Slettet)

#4
Men her gør du jo præcis det samme? Du vælger x vilkårligt, og viser at det gælder for dette x. Da x er valgt vilkårligt må det gælde for alle x.

Om du kalder det x eller x₀ er underordnet, du vælger et vilkårligt element, holder det fast, og viser dit udsagn.

Ah tak - nu tror jeg, at jeg kan se det. Det krævede, at jeg kiggede geometrisk på tretrinsreglen. Selvfølgelig bliver x også nødt til at holdes konstant som x_0.

Nu synes jeg faktisk, at det ligger op til mere forvirring at skrive x istedet for x₀, da man kunne tro, at x kan variere :-)

Skriv et svar til: Hvorfor beviser vi regneregler for differentiation mht. ét punkt?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.