Matematik

Centrum og radius

08. juni 2018 af sea789 - Niveau: C-niveau

Hej allesammen. Jeg er i gang med at øve mig til en matematik årsprøve, og en opgave jeg har svært ved er følgende (det er uden hjælpemidler):

I et koordinatsystem i planen er en cirkel givet ved ligningen: x²-4x+y²+6y+12=0
a) Bestem cirklens radius og koordinatsæt til dens centrum.

Indtil videre har jeg gjort følgende:
( x²-4x)+(y²+6y)=-12

Herefter ved jeg ikke, hvordan jeg kommer videre. Er der nogen, der vil hjælpe?

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. juni 2018 af mathon

$\small (x-2)^2+(y+3)^2-4-9+12=0$

$\small \small (x-2)^2+(y+3)^2=1$

Svar #2
08. juni 2018 af sea789

#1
$\small (x-2)^2+(y+3)^2-4-9+12=0$

$\small \small (x-2)^2+(y+3)^2=1$

Jeg forstår ikke helt, hvordan du fx får (x²-4x) til (x-2)², og hvorfor der står -4 og -9. Jeg ved, at det har noget med kvadratsætningerne at gøre, men har ikke haft så meget om det... Kan du måske uddybe? :-)

Brugbart svar (1)

Svar #3
08. juni 2018 af mathon

$\small \small \small (x-2)^2+(y-(-3))^2=1^2$ $\small \textup{som ved sammenligning med}$

$\small (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ $\small \textup{med centrum (a,b) og radius r}$
$\small \textup{viser at}$
$\small \textup{centrum er (2,-3) og radius r=1.}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. juni 2018 af mathon

$\small \textup{Komplet kvadratisk betyder best\aa ende af tre led, hvoraf to er kvadrattal og det tredje er det dobbelte produkt af deres r\o dder.}$


      $\small a^2+b^2\mp 2\cdot a\cdot b=\left (a\mp b \right )^2$

Brugbart svar (1)

Svar #5
08. juni 2018 af mathon

$\small \textup{Har man de to af leddene }x^2+2xb\textup{, m\aa \ det sidste kvadrattal tilf\o jes for at omskrivningen er mulig:}$

$\small \left (x^2+2\cdot x\cdot b+b^2 \right )-b^2=\left (x+b \right )^2-b^2$

Brugbart svar (1)

Svar #6
08. juni 2018 af mathon

$\small \textup{hvoraf:}$
$\small x^2-4x+y^2+6y+12=0$

$\small x^2-2\cdot x\cdot 2+y^2+2\cdot y\cdot 3+12=0$

$\small x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2-2^2+y^2+2\cdot y\cdot 3+3^2-3^2+12=0$

$\small \left (x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2 \right )-2^2+\left (y^2+2\cdot y\cdot 3+3^2 \right )-3^2+12=0$

$\small \left (x-2 \right )^2-2^2+\left (y+3 \right )^2-3^2+12=0$

$\small \left (x-2 \right )^2+\left (y+3 \right )^2-1=0$

$\small \left (x-2 \right )^2+\left (y+3 \right )^2=1$

Brugbart svar (1)

Svar #7
08. juni 2018 af ringstedLC

En af kvadratsætningerne lyder:

$\begin{align*} (a-b)^2 = &\;a^2-2ab+b^2 \end{align*}$

Venstresiden er magen til cirkelligningens (x - a)². Så:

$\begin{align*} a^2{\color{Red} -2ab}+{\color{Blue} b^2}&=(a-b)^2 \\ x^2{\color{Red} -4x}+{\color{Blue} b^2}&\Downarrow\\ a=x\Rightarrow {\color{Red} -2xb}&={\color{Red} -4x}\Downarrow\\ {\color{Red} b}&={\color{Red} 2}\Downarrow\\ {\color{Blue} b^2}&={\color{Red} 2}^2={\color{Blue} 4}\\ x^2{\color{Red} -4x}\;{\color{Blue} +\;4}&=(x-2)^2\Downarrow\\ x^2{\color{Red} -4x}\;{\color{Blue} +\;4}-4&=(x-2)^2-4\\ \end{align*}$

Ved at addere med det manglende b² fås kvadratet på en toleddet størrelse som skal bruges i cirkelligningen. b² skal så efterfølgende subtraheres.

Brugbart svar (1)

Svar #8
08. juni 2018 af AMelev

En lidt anden måde, at tackle det på:
Du har

#0 Indtil videre har jeg gjort følgende: ( x²-4x)+(y²+6y)=-12

Dit mål er  at få omskrevet til (x - x0)² + (y - y0)²= r², og som anført i#3   $\small a^2\pm 2\cdot a\cdot b+b^2=\left (a\pm b \right )^2$
I  ( x²- 4x) er dit a = x, og 2a·b er 4x, så b = 2.
Du mangler altså b² = 4, som du kan lægge til på begge sider: ( x²- 4x + 4) + (y²+ 6y) = -12 + 4
I   (y²+ 6y)  er dit a = y, og 2a·b er 6y, så b = 3.
Du mangler altså b² = 9, som du kan lægge til på begge sider: ( x²- 4x + 4) + (y²+ 6y +9) = -12 + 4 +9
Så har du (x - 2)² + (y + 3)² =1
Centrum (x0,y0) = (2,-3) og radius r = √1 = 1

Der er ikke egentlig forskel i metoderne: Læg et tal til og træk det samme fra på begge sider eller læg samme tal til på begge sider. Vælg, hvad der passer dig bedst.

Skriv et svar til: Centrum og radius

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.