Sigma-algebra

Et lidt andet spørgsmål. Mængden ovenfor; kan den være mindre eller vil det være sådan, at hvis den bliver mindre, så er det ikke en σ-algebra?

Definitionen af en σ-algebra:

En σ-algebra på en mængde X er en familie af delmængder af X med følgende egenskab:

Din mængde i dit eksempel overholder egenskaberne, ikke sandt? Så er det jio en σ-algebra!

Jeg forstår dog ikke hvorfor du mistænker denne for at være den mindste? Den virker rimelig arbitrær, du bruger to (vilkårlige?) delmængder og nogle kombinationer af disse? I alle tilfælde er {X, ∅} jo i hvert fald en mindre σ-algebra.

Ok.. Jeg tror måske jeg er ved at forstå det...

Ja. Du har ret.

Ok.. Jeg spørger lige igen. Jeg forsøger at få jer til at forstå hvad jeg mener med mindre...

Hvis A₁ og A₂ er defineret som ovenfor. Er

Σ = {X, A₁, A₂, A₁^c, A₂^c, ∅} Så også en σ-algebra?

For X∈Σ.
Vi har X,A₁,A₂∈Σ og derfor er X^c,A₁^c,A₂^c∈Σ også med

I den sidste, har jeg valgt A₁ = A₂= ... = ∅... og derfor overholder den også (Σ₃) (Har man i netop denne, valgfrihed i hvilke delmængder man vælger?)

Og vi er enig om, at ved definitionen, da er det underforstået at A_n⊂X?

Det er underforstået at A_n∈Σ (og derfor altså også en delmængde af X som du siger.)

I #4 hvis du som du skriver sætter A₁ = A₂= ... = ∅, har du jo blot at Σ={X,∅}, så dette er rimelig trivielt.

Men hvis du har valgt Σ = {X, A₁, A₂, A₁^c, A₂^c, ∅} med A₁,A₂⊆X, så bemærk A₁∪A₂ ikke er i Σ, så den trefje egenskab er altså ikke opfyldt. (Husk at det skal gælde for en hvilken som helst følge af mængder i Σ.)

#0 Hvis du ikke har hørt om det før kan du også med fordel læse om begrebet -generator.

#7

Jeg har bogen Measures, integrals and martingales... Det er analyse 2...

Jeg har haft
Introduktion til økonomi.
Introduktion til de matematiske fag

Sandsynlighedsregning
Lineær algebra

Analyse 0
Operationsanalyse

Analyse 1
Forsikring og jura

I hvilket fag skulle jeg have hørt om sigma algebraer?

Det er netop første gang i analyse 2 man støder på en sigma algebra... En direkte afskrift fra bogen

We have seen in the proloque that a reasonable measure should be able to deal with disjoint countable partitions of sets. Therefore a measure function must be defined on a system of sets which is stable whenever we repeat any of the basic operations - ∪,∩,^c - countable many times

Definition 3.1 A σ-algebra Σ on a set X is af family of subsets of X with the following properties:

Σ₁ : X ∈ Σ
Σ₂ : A ∈ Σ ⇒ A^c ∈ Σ
Σ₃ : (A_n)_n∈N ⊂ Σ ⇒ ∪_n∈N A_n ∈ Σ

A set A∈Σ is said to be measureable or Σ-measureable.

Properties 3.2 (of  σ-algebra) (i) ∅ ∈ Σ.
Indeed: ∅ = X^c by (Σ₁), (Σ₂)
(ii) A,B ∈ Σ ⇒ A∪B∈ Σ
Indeed: if A₁ = A, A₂ = B, A₃ = A₄ = ... = ∅, then A∪B = ∪_n∈N A_n ∈ Σ
(iii) (A_n)_n∈N ⊂ Σ ⇒ ∩_n∈N A_n ∈ Σ.
Indeed: if A_n ∈ Σ, then A_n^c ∈ Σ by (Σ₂), hence ∪_n∈N A_n^c ∈ Σ by (Σ₃) and, again by (Σ₂), ∩_n∈N A_n = (∪_n∈N A_n^c)^c ∈ Σ.

[7 eksempler, jeg vælger at skippe]

Theorem 3.4 (and definition) (i) The intersection ∩_i∈I Σ_i of arbitrary many σ-algebras Σ_i in X is again a σ-algebra in X
(ii) For every system of sets Φ⊂P(X) there exists a smallest (also: minimal, coarsets) σ-algebra containing Φ. This is the σ-algebra generated by Φ, denoted by σ(Φ), and Φ is called its generator.

Indtil videre, så har de været sparsomme med oplysningerne... Igen, det er første gang vi støder på sådan en fætter... men du snakker om at jeg skal læse om σ-generator... Det må være den sidste i theorem 3.4 :) 

Har du eventuelt en bog eller pdf som du kan anbefale?

#9 Jeg har læst Measure Theory af Ernst Hansen fra KU, hvilket jeg følte var en udmærket bog, men den er måske også lidt tynd på introduktionen.

Jeg tænkte netop på indholdet af dit Theorem 3.4, som jo er en måde at karakterisere den "mindste" sigma-algebra hørende til et system af sæt. Hvis du gerne vil forstå konstruktionen af sigma-algebraer, er det en udmærket ide at prøve at bygge simple eksempler, for derefter at teste din teoretiske viden på mere rene matematiske konstruktioner.