Matematik

absolut konvergent, betinget konvergent, eller divergent?

30. august 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har rækken

$R_1 = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \sin n + \cos n } { n ^ { 2 } }$

Jeg vil gerne undersøge konvergensforhold for denne. Vi integralkriteret kan jeg se at rækken

$R_2 = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } }$

Er konvergent.

Jeg vil nu gerne sammenligne |R1| og R2 med hinanden.

$0 < \frac { | \sin n + \cos n |} { n ^ { 2 } } < \frac { 2} { n ^ { 2 } }$

da 2/n^2 er konvergent er |R1| konvergent -> R1 er konvergent.

Spm. kan det passe at

$| \sin n + \cos n | \in [0,2] \quad \text{og} \quad \sin n + \cos n \in [-2,2]$

Er opgave desuden løst tilstrækkeligt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. august 2018 af guuoo2 (Slettet)

Spm. kan det passe at

$| \sin n + \cos n | \in [0,2] \quad \text{og} \quad \sin n + \cos n \in [-2,2]$

?

Er opgave desuden løst tilstrækkeligt?

Ja og ja, men også

Svar #2
30. august 2018 af anonym000

#1

Spm. kan det passe at

$| \sin n + \cos n | \in [0,2] \quad \text{og} \quad \sin n + \cos n \in [-2,2]$

?

Er opgave desuden løst tilstrækkeligt?

Ja og ja, men også

Okay.

Hvordan kommer du frem til

$| \sin n + \cos n | \in [ 0 , \sqrt { 2 } ] \quad \operatorname { og } \sin n + \cos n \in [ - \sqrt { 2 } , \sqrt { 2 } ]$

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. august 2018 af Brusebad (Slettet)

Svar #4
30. august 2018 af anonym000

#3
som du selv skriver så er |cos(x) + sin(x)| ≤ 2 (da |cox(x)|, |sin(x)| ≤ 1 ), men cos og sin har jo også et indbyrdes forhold der kan give en stærkere øvre grænse. Når |cos(x₀)| = 1 så er sin(x₀) = 0 og omvendt hvis |sin(x₀)| = 1 så er |cos(x₀)| = 0. For at bestemme maximum af |cos(x) + sin(x)| kan du evt. differentierer x → cos(x) + sin(x). Et maximum opnås f.eks. når cos(x) = sin(x) = √2 / 2 (f.eks. ved x = π / 4 ).

Jep, det kan jeg godt se nu. Tak.

- - -

...............

Skriv et svar til: absolut konvergent, betinget konvergent, eller divergent?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.