Matematik

Taylorapproksimation, uendelige rækker (BEVIS)

05. september 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Sætning og bevis er vedhæftet.

ad "overvej dette!"

Er det fordi (N+1)! vokser hurtigere end tælleren? Hvis det er tilfældet kan jeg ikke se hvordan jeg overbeviser mig selv om dette.

Mvh.

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

Vedhæftningen mangler.

Svar #2
05. september 2018 af anonym000

Ups, Det gletme jeg !

Det er nu vedhæftet.

- - -

...............

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-09-05 kl. 22.05.45.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. september 2018 af peter lind

Det er jo restleddet for Taylorrækken for C*e^x, og den går endda temmelig hurtig mod 0

Brugbart svar (1)

Svar #4
05. september 2018 af guuoo2 (Slettet)

Lad Q = |x-x0|.

I tælleren står der så Q^N+1

Lad M være et heltal, som er større end Q.

Når N når til M, så er brøken
$\left.\frac{|x-x_0|^{N+1}}{(N+1)!}\right|_{N=M}=\frac{Q^{M+1}}{(M+1)!}$

Når N går videre til M + k, så bliver brøken til
$\left.\frac{|x-x_0|^{N+1}}{(N+1)!}\right|_{N=M+k}= \frac{Q^{M+1}}{(M+1)!}\;\frac{Q}{M+2}\;\frac{Q}{M+3}\ldots \frac{Q}{M+k+1}$

Den første brøk på højresiden er konstant mht. k. De resterende faktorer ligger alle
i intervallet (0,1) og går mod 0, da tællerne er konstante mens nævnerne vokser.

Hvis hele produktet skal være mindre end epsilon, skal du
bare lade k være så stor at der gælder uligheden
$C * Q / (M + k+1) < epsilon$

Hvor C er Q^M+1/(M+1)!

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. september 2018 af peter lind

Det kan vises nemmere. Går du et skridt frem bliver der maksimale restled ændret så S_n+1 = S_n*x/(n+1) Da for tilstrækkelig stort n gælder at x/(n+1) < 1 går rækken fra et vist led at regne hurtigere mod 0 end en kvotientrække

Svar #6
06. september 2018 af anonym000

Jeg havde helt glemt hvordan lagranges restled så ud :D

Nu er jeg med igen.

- - -

...............

Svar #7
06. september 2018 af anonym000

#5
Det kan vises nemmere. Går du et skridt frem bliver der maksimale restled ændret så S_n+1 = S_n*x/(n+1) Da for tilstrækkelig stort n gælder at x/(n+1) < 1 går rækken fra et vist led at regne hurtigere mod 0 end en kvotientrække

Jeg kunne godt tænke mig at forstår mekanikken. Hvad er Sn og hvad er faktoren x/(n+1) ?

- - -

...............

Skriv et svar til: Taylorapproksimation, uendelige rækker (BEVIS)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.