Matematik

2-komposanter fortsat

22. september kl. 14:01 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har følgende 2 komposanter og vil gerne høre om jeg har regnet rigtigt.

\sigma (t)=\varepsilon _{0}*E^{'}*sin(\omega t)+\varepsilon _{0}*E^{''}*cos(\omega t)

Og

\varepsilon (t)=\varepsilon _{0}*sin(\omega t)

Jeg har derefter ganget den første ligning igennem med.....

sin(\omega t)

Og dermed fået følgende

sin(\omega t)*\sigma (t)=\varepsilon _{0}*E^{'}*sin^{2}(\omega t)+\varepsilon _{0}*E^{''}*sin(\omega t)*cos(\omega t)

Derefter har jeg integreret hvert led med hensyn til tiden t. Det første led på højresiden af lighedstegnet har jeg integreret på følgende måde.

=\int_{0}^{t}(\varepsilon _{0}*E^{'}*sin^{2}(\omega t))dt=\int_{0}^{t}(\varepsilon _{0}*E^{'}*sin^{2}(\omega t))dt=\varepsilon _{0}*E^{'}*\int_{0}^{t}sin^{2}(\omega t)dt

=\varepsilon _{0}*E^{'}*\int_{0}^{t}\frac{1}{2}*(1-cos(2\omega t))dt=\frac{1}{2}*\varepsilon _{0}*E^{'}*(t-\frac{1}{2}*sin(2\omega t)+c)dt

=\frac{\varepsilon _{0}*E^{'}*t}{2}-\frac{\varepsilon _{0}*E^{'}}{4}*sin(2\omega t)

Dette sidste udtryk skulle gerne være det bestemte integral. Jeg mangler fortsat at finde et udtryk for det andet led i den første komposant.


Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september kl. 21:10 af swpply

Prøv at differentiere 

         \frac{\varepsilon_0E^\prime}{2} \bigg(t - \frac{1}{2}\sin(2\omega t)\bigg)

med hensyn til tiden og se om du genfinder integranten

              \varepsilon_0E^\prime\sin^2(\omega t)

Hint, det gør du ikke.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Nu har jeg kigget i dine to forrige tråde angående samme problem og de har alle det tilfældes at du ikke har forklaret hvilken opgave du arbejder med. Ja, du sider og snørkler med et matematisk udtryk men hvis vi du vil havde en brugbar hjælp bliver du nød til at beskrive hele opgaven (tag evt. et billed af opgave formuleringen fra din bog og upload det tråden).


Svar #2
23. september kl. 09:06 af Yipikaye

Hej igen. Sorry at jeg er noget sent til at skrive tilbage.

Det som jeg gerne ville med denne samt den forrige tråd var/er at finde en forskrift for elipsen ud fra de 2 komposanter.


Brugbart svar (0)

Svar #3
23. september kl. 09:18 af swpply

#2 Det som jeg gerne ville med denne samt den forrige tråd var/er at finde en forskrift for elipsen ud fra de 2 komposanter.

Det forstår jeg ikke, da

#0
\sigma (t)=\varepsilon _{0}*E^{'}*sin(\omega t)+\varepsilon _{0}*E^{''}*cos(\omega t)

Og

\varepsilon (t)=\varepsilon _{0}*sin(\omega t)


 allerede er en forskrift for en parameter fremstiling af ellipsen.


Brugbart svar (0)

Svar #4
23. september kl. 09:52 af swpply

Tag et billed af opgaven og vedhæft den til denn tråd, for jeg tror at du ligger og svømmer imod strømmen og i den forkerte retning.


Svar #5
23. september kl. 11:16 af Yipikaye

Hej igen.

Der er som sådan ikke nogen opgave. Det er bare mig der prøver at forstå noget omkring Lissajou-figurer.

Det som jeg havde forestillet mig var at man ud for de 2 komposanter kunne finde ét udtryk for elipsens bane, nøjagtigt ligesom ved det skråkast hvor man finder dets banekurv ud fra 2 komposanter. Når man skal finde banekurven for det skråkast, så parametrisere man først stedkoordinaterne x og y med parameteren t(tiden). Derefter isolere man t i den første komposant(x-komposanten) og indsætter derefter dette udtryk på t's plads i den anden komposant(y-komposanten). 


Brugbart svar (0)

Svar #6
23. september kl. 11:27 af swpply

#5 Når man skal finde banekurven for det skråkast, så parametrisere man først stedkoordinaterne x og y med parameteren t(tiden). Derefter isolere man t i den første komposant(x-komposanten) og indsætter derefter dette udtryk på t's plads i den anden komposant(y-komposanten). 

Hvilken ny information for du ved at gøre dette, som ikke allerede var tilstede i parameterfremstillingen?

#5 Der er som sådan ikke nogen opgave. Det er bare mig der prøver at forstå noget omkring Lissajou-figurer.

Så vil det formegentligt være langt mere sigende at studere deres generalle form

                                        \begin{align*} x(t) &= A\sin(at+\delta) \\ y(t) &= B\sin(bt) \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #7
23. september kl. 13:09 af swpply

Er det fordi at du ønsker at bestemme lukkede udtryk for E' og E^{\prime\prime}?


Brugbart svar (0)

Svar #8
23. september kl. 13:42 af swpply

Begynd med at definere "vinkel"-variablen

(1)                        \tan(\varphi) = \frac{E^{\prime\prime}}{E^\prime}

dermed har du at

(2)                       \sin(\varphi) = \frac{E^{\prime\prime}}{\sqrt{(E^\prime)^2+(E^{\prime\prime})^2}}

og

(3)                    \cos(\varphi) = \frac{E^{\prime}}{\sqrt{(E^\prime)^2+(E^{\prime\prime})^2}}

Hvorfor at

(4)                    \sigma(t) = \varepsilon_0\sqrt{(E^\prime)^2+(E^{\prime\prime})^2}\sin(\omega t +\varphi).

Dermed har du at

(5)           \varepsilon(\sigma) = \varepsilon_0\sin\Bigg(\arcsin\Bigg(\frac{\sigma}{\varepsilon_0\sqrt{(E^\prime)^2+(E^{\prime\prime})^2}}\Bigg)-\arctan\bigg(\frac{E^{\prime\prime}}{E^{\prime}}\bigg)\Bigg)

Der er måske et par enkle fortegns fejl hist og her, gik lidt hurtigt igennem beregningerne. Regn evt. selv efter og tjek om det passer ;-)

Skriv endelig hvis du har spørgsmål til ovenstående.

---- Du må også rigtig gerne skrive hvis du finder noget interesant, for jeg er lidt nysgerrig på hvad du vil bruge (5) til. Jeg tror ikke helt jeg forstår hvad dit udgangspunkt er for opgaven/problemet :-)


Svar #9
23. september kl. 17:21 af Yipikaye

Hej igen.

Hvad vil det sige at der er tale om lukkede udtryk for E^{'} og E^{''}?  


Brugbart svar (0)

Svar #10
23. september kl. 17:23 af swpply

Et lukket udtryk er det man på engelsk vil kalde et closed-form expression (link).

Er ligning (5) i svar #8 ikke et sådant udtryk du efterspørger her i tråden?


Svar #11
23. september kl. 18:38 af Yipikaye

Jeg tror måske at det er sådant et udtryk jeg efterspørger i tråden her. Hvor tøjningen \varepsilon er en funktion af den mekaniske spænding \sigma. Men jeg har lige nogle flere spørgsmål angående ovenstående udtryk.

Afstedkommer ovenstående udtryk kun en tøjningsværdi (\varepsilon ) for hver (\sigma )-spændingsværdi selv om elipsen ikke er entydig?

Og hvor E^{'} og E^{''} har faste værdier uanset hvor på elipsen man befinder sig, og som kan isoleres.


Svar #12
23. september kl. 18:45 af Yipikaye

Jeg tror nok at det sidste som jeg skrev her blev til lidt volapyk. Det som jeg mente med det sidste var om E^{'} og E^{''}er konstante værdier som kan isoleres. Og om udtrykket ovenover repræsentere en elipse.


Brugbart svar (0)

Svar #13
23. september kl. 19:03 af swpply

Tænk på E^\prime og E^{\prime\prime} som prametere, så ja i den forstand er de konstante for en given ellipse i (σ,ε) planet.

Jeg forstår ikke helt hvad du mener med at ellipsen ikke er entydig.

Jeg må erkende at jeg har svært ved at give nogen fysisk fortolkning så længe at jeg ikke kender noget til systemet som disse liginger modellere.


Svar #14
23. september kl. 19:17 af Yipikaye

Ok. Jeg prøver igen. Jeg må nok ærligt indrømme at jeg selv har tabt tråden lidt. Men jeg føler alligevel at vi nærmer os det rigtige, hvis ikke det er rigtigt.

For hver gang vi har en given spænding, så har vi også en given tøjning, hvilket må betyde at E^{'} og E^{''}er konstanter eller parametre som ændrer sig inden for et lukket område.

Er det rigtigt forstået?


Brugbart svar (0)

Svar #15
23. september kl. 19:23 af swpply

Hov, jeg kan se at jeg selvfølgelig har lavet en mindre fejl i (5) svar #8. Der gælder generalt at enten er

               \varepsilon(\sigma) = \varepsilon_0\sin\Bigg(\arcsin\Bigg(\frac{\sigma}{\varepsilon_0\sqrt{(E^\prime)^2 + (E^{\prime\prime})}}\Bigg)-\arctan\bigg(\frac{E^{\prime\prime}}{E^\prime}\bigg)\Bigg)

eller

               \varepsilon(\sigma) = \varepsilon_0\sin\Bigg(\arcsin\Bigg(\frac{\sigma}{\varepsilon_0\sqrt{(E^\prime)^2 + (E^{\prime\prime})}}\Bigg)+\arctan\bigg(\frac{E^{\prime\prime}}{E^\prime}\bigg)\Bigg)

Det klare også det med fortegnene jeg kommenteret på i #8 ;-)


Brugbart svar (0)

Svar #16
23. september kl. 19:32 af swpply

#14

For hver gang vi har en given spænding, så har vi også en given tøjning, hvilket må betyde at E^{'} og E^{''}er konstanter eller parametre som ændrer sig inden for et lukket område.

Nej, ellipsen er entydigt bestemt ved de to parametere \varepsilon_0 og \varphi. Hvorfor at du sagtens kan havde at flere forskellige værdier af E^\prime og E^{\prime\prime} giver den samme ellipse. Men for en given ellipse er værdierne af E^{\prime} og E^{\prime\prime} konstante, eller rettere E^{\prime\prime}/E^\prime er konstant.

Med mindre du befinder dig i et af ydrepunkterne på ellipsen, så er strain \varepsilon ikke entydigt bestemt ved stressen \sigma. Det er fordi en elleipse er en lukket kurve i (σ,ε) planet.

Generalt gælder der, at givet en værdi for \sigma da kan \varepsilon være en af to værdier. Nemlig enten være givet ved den første af ligningerne i #15 eller den sidste af ligningerne i #15. Altså er \varepsilon generalt ikke entydigt bestemt ved \sigma.


Svar #17
23. september kl. 19:49 af Yipikaye

Men skal det forståes sådan at de 2 ovenforstående udtryk er en form for grænseværdier for parametrene E^{'}og E^{''}? Eller skal det forståes sådan  at E^{'} kan antage 2 forskellige værdier og E^{''} kan antage 2 forskellige værdier? 


Svar #18
23. september kl. 19:50 af Yipikaye

Ok. Jeg bliver nødt til at lukke ned nu. Tak for hjælpen.


Brugbart svar (0)

Svar #19
23. september kl. 20:17 af swpply

Jeg forstår ikke hvad det er du vil med E^\prime og E^{\prime\prime} heletiden.

De tre parametere (\varepsilon_0,E^\prime,E^{\prime\prime}) definere en ellipse i (σ,ε) planet. På denne ellipse ændre værdierne (\varepsilon_0,E^\prime,E^{\prime\prime}) sig ikke, fordi ellers ville du ikke længere være på den samme ellipse!

#17

Men skal det forståes sådan at de 2 ovenforstående udtryk er en form for grænseværdier for parametrene E^{'}og E^{''}?

Nej, hvorfor begynder du snakke om grænseværdier. Der har ikke været snark om grænseværider på et eneste tidspunkt.

#17

Eller skal det forståes sådan  at E^{'} kan antage 2 forskellige værdier og E^{''} kan antage 2 forskellige værdier? 

Både E^\prime og E^{\prime\prime} (sammen med \varepsilon_0) kan antage uendeligt mange forskellige værdier og for hvert af sådan en triple af værider (\varepsilon_0,E^\prime,E^{\prime\prime}) har du en ellipse.
______________________________________________________________________________________

Det er ikke for at være flabet, men jeg tænker at problemet med denne opgave er at ikke selv forstår hvad opgaven handler om. Det virker som om at du er kommet lidt for hurtigt ud på alt for dybt vand.


Skriv et svar til: 2-komposanter fortsat

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.