Matematik

Komplekse polynomier

24. september 2018 af Fysikper (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

a)Lad P(z) være et førstegradspolynomium med forskriften:
P(z)=(2−I⋅2)⋅z+3 .
Roden i P(z) betegnes z0, angiv z0 på rektangulær form.

b) Et tredijgradspolynomium er givet ved forskriften: P(z)=3⋅z^3+b⋅z^2+c⋅z+d .
Det oplyses at P(z)har rødderne:
z1=0,z2=4,z3=1+2⋅I
Angiv nedenfor værdierne af konstanterne b,c og d:
[d kan man nemt finde ved at sætte z=0 og derfor må d også være = 0, men hvordan finder jeg b og c?]

Brugbart svar (2)

Svar #1
24. september 2018 af Festino

a) Løs ligningen $(2-2i)z+3=0$ .

b) Det følger af nulreglen, at $P(z)=3\cdot (z-z_1)\cdot (z-z_2)\cdot (z-z_3)$

Brugbart svar (1)

Svar #2
24. september 2018 af mathon

a)
$\small \small \begin{array}{rcl} (2-2i)z+3&=&0\\\\ z_o&=&\frac{-3}{2-2i}\\\\ z_o&=&\frac{-3(2+2i)}{(2-2i)(2+2i)}\\\\ z_o&=&\frac{-6-6i}{4+4}\\\\ z_o&=&\frac{3-3i}{4}\\\\ z_o&=&\frac{3}{4}-\frac{3}{4}i \end{array}$

Svar #3
24. september 2018 af Fysikper (Slettet)

Festino, jeg forstår ikke helt. Hvordan får jeg b og c ud fra nulreglen?

P(z)=3*(z-0)*(z-4)*(z-1+2*I)

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. september 2018 af Festino

Du ganger simpelthen parenteserne sammen. Faktisk skal du bare gange de to sidste parenteser sammen og derefter gange med $3z$ . Du får så et udtryk af formen

$3z^3+bz^2+cz$ .

Brugbart svar (1)

Svar #5
24. september 2018 af mathon

$\small P(z)=3\cdot \left [ (z-0)(z-4)(z-(1+2i)) \right ]$

$\small P(z)=3\cdot \left [ (z^2-4z)(z-1-2i) \right ]$

$\small P(z)=3\cdot \left [ z^3-z^2-2iz^2-4z^2+4z+8iz \right ]$

$\small P(z)=3\cdot \left [ z^3-(5+2i)z^2+(4+8i)z \right ]$

$\small P(z)= 3z^3+(-15-6i)z^2+(12+24i)z+0$

$\small \begin{array}{|c|c|c|c|} a&b&c&d\\ \hline 3&-15-6i&12+24i&0 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
24. september 2018 af Festino

Jeg skylder måske at uddybe mit tidligere svar. Hvis jeg sætter

$Q(z)=3\cdot(z-z_1)\cdot (z-z_2)\cdot (z-z_3)$ ,

så får jeg et tredjegradspolynomium, der har rødderne $z_1$ , $z_2$ og $z_3$ (ses ved indsættelse). Jeg påstår, at $P(z)$ og $Q(z)$ er samme polynomium. De to polynomier har nemlig begge ledende koefficient 3, så hvis vi trækker de to polynomier fra hinanden, så får vi et polynomium af grad højst to, der har tre forskellige rødder. Dette kan kun ske, hvis polynomiet er nulpolynomiet, og derfor er $P(z)=Q(z)$ .

Svar #7
24. september 2018 af Fysikper (Slettet)

Tusind tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Komplekse polynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.