Matematik

Bestem K så ligningen har netop 2 løsninger

11. oktober 2018 af BrainyBrain - Niveau: B-niveau

Hej, sidder lidt fast i denne opgave.. det både a og b.. nogle der kan hjælpe?

En funktion er givet ved følgende forskrift, hvor K er et ukendt tal:

f(x) = x³-6x²+9x +k

a) Bestem for hvilke værdier af k at lignignen f(x)=0 har netop to løsninger.

b) Argumenter for at f'(x) er den samme afledte funktion, usanset værdien af k.

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. oktober 2018 af PeterValberg

B) differentier f og indse, at k forsvinder, hvorfor f' vil være den samme uanset værdien for k

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #2
11. oktober 2018 af BrainyBrain

Ah okay, det forstår jeg godt.. tak

Hvad så med a)? Ved at for at der skal være to løsninger så skal d>0, er bare ikke klar over hvordan jeg kan bruge dét i en udregning... Nu har jeg bare siddet og differentieret f(x) for at få det til en andengradsligning, så jeg kunne sætte det ind i diskrimininantformlen, hvorefter jeg fik x=3 v x=1 ..

but im kinda lost ..

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. oktober 2018 af PeterValberg

Umiddelbart tænker jeg, at du skal bestemme den afledede funktion f' og løse ligningen f'(x) =0 hvilket burde give to løsninger, da f' er et andengradspolynomie.
En fortegnsvariationsanalyse for f, vil afsløre ved hvilket af de fundne x-værdier at f har lokalt minimum. Hvis k er lig med funktionsværdien (med modsat fortegn) ved dette x, vil f(x)=0 have netop to løsninger.... skulle jeg mene :-)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. oktober 2018 af guuoo2

Et tredjegradspolynomium har 2 rødder når y-værdien for et lokalt ekstremum er 0.

f har ekstrema ved x=3 v x=1, da disse er rødder af f '.

Dvs. f har 2 rødder hvis f(3) = 0 eller f(1) = 0. Isoler k i begge ligninger.

Svar #5
11. oktober 2018 af BrainyBrain

Tusinde tak begge to! :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. oktober 2018 af mathon

a)
   $\small \textup{for k=0}$
   $\small \textup{haves:}$
   $\small f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2$

$\small \textup{som netop }$
$\small \textup{har to l\o sninger.}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. oktober 2018 af guuoo2

f har 2 rødder hvis og kun hvis du kan skrive forskriften som
$\\f(x)=a $x-r_1) \(x-r_2$^2$
som ganger ud til
$= \underset{\displaystyle x^3}{\underbrace{a x^3}} -\underset{\displaystyle 6x^2}{\underbrace{(a r_1+2 a r_2)x^2}} +\underset{\displaystyle 9x}{\underbrace{(a r_2^2+2 a r_1 r_2 )x}} +\underset{\displaystyle k}{\underbrace{-a r_1 r_2^2}}$
hvilket er 4 ligninger da koefficienterne for hver potens af x skal passe med dem fra forskriften i opgaven.

Den første ligning fra venstre giver $a=1$ .
Den anden er dermed , dvs.
Den tredje er dermed , som er en 2.-gradsligning der giver

I den fjerde er k isoleret og kan dermed bestemmes ved blot at indsætte ovenstående på højresiden

Skriv et svar til: Bestem K så ligningen har netop 2 løsninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.