Matematik

delmængde. ækvivalensklasse

17. oktober kl. 15:13 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

hej 

er der en herinde der kan hjælpe mig med denne her opgave. Jeg ved ikke hetl hvordan jeg skal gå i gang med den

Vedhæftet fil: diskret mat.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. oktober kl. 15:26 af swpply


Brugbart svar (1)

Svar #2
17. oktober kl. 15:30 af swpply

Du skal begynde med at vise at realtionen \sim på Q er en ækvivalensrelation. Du skal altså vise at \sim er

   1.   refleksiv (trivel)
   2.   symmetrisk (multiplikation på \mathbb{Z} er kommutativt)
   3.   transitiv (for ved transitivitet af relationen "=")


Brugbart svar (1)

Svar #3
17. oktober kl. 15:49 af swpply

Lad (a,b)\in\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\}) være et arbitrært valgt element. Da gælder der at

                                 \begin{align*} (a,b)\sim(2,3) &\quad\Leftrightarrow\quad 3a=2b \\ &\quad\Leftrightarrow\quad (a,b) = (2n,3n)\,,\ \text{for et }n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\} \end{align*}

Hvorfor at

                                                      \begin{align*} [(2,3)] = \big\{(2n,3n)\mid n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\big\} \end{align*}.

Dette ræsonnement kan du nemt generalisere til at konkludere at

                                                      \begin{align*} [(a,b)] = \big\{(an,bn)\mid n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\big\} \end{align*}

for a\neq0.


Brugbart svar (0)

Svar #4
17. oktober kl. 16:00 af swpply

Tilføjelse til #3. Sidste resultat er også sand såfremt at a=0.


Brugbart svar (1)

Svar #5
17. oktober kl. 16:16 af swpply

Refleksiv
Lad (a,b)\in Q være et arbitrær valgt element, da gælder der

                           (a,b)\sim(a,b) \quad\Leftrightarrow\quad ab=ba

hvilket er sandt eftersom at multiplikation på \mathbb{Z} er kommutativ.

Symmetrisk
Lad (a,b)\in Q og (c,d)\in Q være et arbitrær valgte elementer, da gælder der

                                    \begin{align*} (a,b)\sim(c,d) &\quad\Leftrightarrow\quad ad = bc \\ &\quad\Leftrightarrow\quad cb =da \\ &\quad\Leftrightarrow\quad (c,d)\sim(a,b) \end{align*}

eftersom at multiplikation på \mathbb{Z} kommutativ samt at "=" er symetrisk.

Transitiv
Prøv om du selv kan vise dette på tilsvarende vis som i ovenstående to tilfælde.


Brugbart svar (0)

Svar #6
17. oktober kl. 17:51 af Eksperimentalfysikeren

#3 (4,2) er også ækvivalent med (2,1) ifølge definitionen, men [(4,2)] = {(4n,2n)|n∈Z\{0}}  indeholder ikke (2,1).

Det skal nok være: [(a,b)] = {(a*n/gcd(a,b),b*n/gcd(a,d))|n∈Z\{0}}, hvor gcd(a,b) er største fælles divisor for a og b.


Svar #7
18. oktober kl. 12:25 af sajana

hvordan gør man det med transitavtiv? hvad vil det sige at den er transitiv?


Brugbart svar (0)

Svar #8
18. oktober kl. 22:25 af Eksperimentalfysikeren

Du skal vise, at

(a,b)\sim (c,d) \wedge (c,d) \sim (e,f) \Rightarrow (a,b)\sim (e,f)


Brugbart svar (1)

Svar #9
19. oktober kl. 13:19 af swpply

#6 ja det er selvfølgelig rigtig. Jeg var tydeligvis lidt for hurtig i udfærdigelsen af besvarelsen i #5.

Der gælder selvfølgelig generalt at

Vedhæftet fil:THM2.3.2.png

Brugbart svar (1)

Svar #10
19. oktober kl. 13:28 af swpply

Vedhæftet fil:swpply.png

Svar #11
19. oktober kl. 16:44 af sajana

men er den transitative så også sand?


Svar #12
19. oktober kl. 17:03 af sajana

hvordan kan man i denne her tilfælde beskrive Q/~


Svar #13
19. oktober kl. 17:04 af sajana

og har du eventuelt mulighed for at forklare #9 tror ikke jeg forstår det


Brugbart svar (1)

Svar #14
19. oktober kl. 17:42 af swpply

#11

men er den transitative så også sand?

Ja, \sim har også den transitive egenskab. Se bevis for theorem 25 i svar #10.

#13

og har du eventuelt mulighed for at forklare #9 tror ikke jeg forstår det

Ja, først skal jeg bemærke at jeg har lavet et tastefejl i #9. Istedet for at skrive "[...] besvarelsen i #5." skulle der havde stået "[...] besvarelsen i #3.".

Du skal bruge theorem 2.3.2 i #9 til bestemmelsen af den generalle restklasse [(a,b)].
   Lad (x,y) ∈ Q være et tilfældigt valgt element, da gælder der at

                            \begin{align*} (x,y)\in[(a,b)] &\quad\Leftrightarrow\quad (x,y)\sim(a,b) \\ &\quad\Leftrightarrow\quad xb=ya \\ &\quad\Leftrightarrow\quad bx + (-a)y = 0\end{align*}

   Den diofantiske ligning

(1)                                                   bx+(-a)y=0

har (iflg. theorem 2.3.2 i #9) løsninger idet at den største fælles divisor \gcd(a,b) for a og b trivielt går op i 0 (Husk at samtlige tal går op i nul, med undtagelse af nul selv). Observer nu at (x,y) = (0,0) er én triviel løsning til (1), hvorfor at theorem 2.3.2 i #9 giver os at

                           \begin{align*} x &= 0+\frac{(-a)n}{\gcd(a,b)} \quad\text{og}\quad &&y= 0 -\frac{bn}{\gcd(a,b)} \\ &= -\frac{an}{\gcd(a,b)} &&\ \,=-\frac{bn}{\gcd(a,b)} \end{align*}

er samtlige løsninger til (1) for n\in\mathbb{Z}.
   Bruger vi nu at der for (x,y) ∈ Q bl.a. skal gælde at y ≠ 0 har vi hermed vist at

                    [(a,b)] = \bigg\{\bigg(\frac{an}{\gcd(a,b)},\frac{bn}{\gcd(a,b)}\bigg)\ \bigg\vert\ n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\} \bigg\},

præcist som Eksperimentalfysikeren i #6 var så venlig at bemærke ;-)


Brugbart svar (0)

Svar #15
19. oktober kl. 18:12 af swpply


Brugbart svar (0)

Svar #16
19. oktober kl. 18:39 af swpply

#12

hvordan kan man i denne her tilfælde beskrive Q/~

                                                                       Q/\sim = \mathbb{Q}


Svar #17
19. oktober kl. 19:14 af sajana

tusind tak lige et spørgsmål. Der står at man skal bevise ~ er en ækvivalensrelation. Hvordan gør man det ?


Svar #18
19. oktober kl. 19:47 af sajana

kan du eventuelt uddybe #16


Brugbart svar (1)

Svar #19
19. oktober kl. 20:02 af swpply

#17
Der står at man skal bevise ~ er en ækvivalensrelation. Hvordan gør man det ?

                                          >>>>>   SE THEOREM 25   <<<<<


Brugbart svar (1)

Svar #20
19. oktober kl. 20:16 af swpply

#18

kan du eventuelt uddybe #16

Følgende er ikke noget bevis for påstanden i #16.

Det forekommer mig at du ikke rigtig har nogen intuation omkring ækvivalensrelationen \sim på Q. Observer følgende

                                  (a,b)\sim(c,d)\quad\Leftrightarrow\quad ad = bc \quad\Leftrightarrow\quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Der er altså tale om rationale tal, hvorfor at betingelsen b\neq 0 selvfølgelig er nødvendig. Mere præcist siger ækvivalensrelationen at (a,b)\sim(c,d) såfremt at det to rationale tal \tfrac{a}{b} er identiske \tfrac{c}{d}, det kunne f.eks være talene \tfrac{3}{5} og -\tfrac{21}{35}.

Hvorfor bl.a. at ækvivalensklassen [(a,b)] kan "beskrives" ved mængden

                                                                  \bigg\{q\in\mathbb{Q} \mid q=\frac{a}{b}\bigg\}

–– Jeg håber at dette giver dig en fornemelse af hvilken størrelse Q og \sim er.


Forrige 1 2 Næste

Der er 32 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.