delmængde. ækvivalensklasse

Du skal begynde med at vise at realtionen  på  er en ækvivalensrelation. Du skal altså vise at  er

   1.   refleksiv (trivel)
   2.   symmetrisk (multiplikation på  er kommutativt)
   3.   transitiv (for ved transitivitet af relationen "=")

Lad  være et arbitrært valgt element. Da gælder der at

Hvorfor at

                                                      .

Dette ræsonnement kan du nemt generalisere til at konkludere at

for .

Tilføjelse til #3. Sidste resultat er også sand såfremt at .

Refleksiv
Lad  være et arbitrær valgt element, da gælder der

hvilket er sandt eftersom at multiplikation på  er kommutativ.

Symmetrisk
Lad  og  være et arbitrær valgte elementer, da gælder der

eftersom at multiplikation på  kommutativ samt at "=" er symetrisk.

Transitiv
Prøv om du selv kan vise dette på tilsvarende vis som i ovenstående to tilfælde.

#3 (4,2) er også ækvivalent med (2,1) ifølge definitionen, men [(4,2)] = {(4n,2n)|n∈Z\{0}}  indeholder ikke (2,1).

Det skal nok være: [(a,b)] = {(a*n/gcd(a,b),b*n/gcd(a,d))|n∈Z\{0}}, hvor gcd(a,b) er største fælles divisor for a og b.

hvordan gør man det med transitavtiv? hvad vil det sige at den er transitiv?

Du skal vise, at

#6 ja det er selvfølgelig rigtig. Jeg var tydeligvis lidt for hurtig i udfærdigelsen af besvarelsen i #5.

Der gælder selvfølgelig generalt at

men er den transitative så også sand?

hvordan kan man i denne her tilfælde beskrive Q/~

og har du eventuelt mulighed for at forklare #9 tror ikke jeg forstår det

#11

men er den transitative så også sand?

Ja,  har også den transitive egenskab. Se bevis for theorem 25 i svar #10.

#13

og har du eventuelt mulighed for at forklare #9 tror ikke jeg forstår det

Ja, først skal jeg bemærke at jeg har lavet et tastefejl i #9. Istedet for at skrive "[...] besvarelsen i #5." skulle der havde stået "[...] besvarelsen i #3.".

Du skal bruge theorem 2.3.2 i #9 til bestemmelsen af den generalle restklasse [(a,b)].
   Lad (x,y) ∈ Q være et tilfældigt valgt element, da gælder der at

   Den diofantiske ligning

(1)                                                   

har (iflg. theorem 2.3.2 i #9) løsninger idet at den største fælles divisor  for a og b trivielt går op i 0 (Husk at samtlige tal går op i nul, med undtagelse af nul selv). Observer nu at (x,y) = (0,0) er én triviel løsning til (1), hvorfor at theorem 2.3.2 i #9 giver os at

er samtlige løsninger til (1) for .
   Bruger vi nu at der for (x,y) ∈ Q bl.a. skal gælde at y ≠ 0 har vi hermed vist at

præcist som Eksperimentalfysikeren i #6 var så venlig at bemærke ;-)

#12

hvordan kan man i denne her tilfælde beskrive Q/~

tusind tak lige et spørgsmål. Der står at man skal bevise ~ er en ækvivalensrelation. Hvordan gør man det ?

kan du eventuelt uddybe #16

#17
Der står at man skal bevise ~ er en ækvivalensrelation. Hvordan gør man det ?

                                          >>>>>   SE THEOREM 25   <<<<<

#18

kan du eventuelt uddybe #16

Følgende er ikke noget bevis for påstanden i #16.

Det forekommer mig at du ikke rigtig har nogen intuation omkring ækvivalensrelationen  på . Observer følgende

Der er altså tale om rationale tal, hvorfor at betingelsen  selvfølgelig er nødvendig. Mere præcist siger ækvivalensrelationen at  såfremt at det to rationale tal  er identiske , det kunne f.eks være talene  og .

Hvorfor bl.a. at ækvivalensklassen  kan "beskrives" ved mængden

–– Jeg håber at dette giver dig en fornemelse af hvilken størrelse  og  er.