Matematik

Regnemetode af 2 ligninger med 2 ubekendte med brøker og hele tal?

26. oktober 2018 af CasperHansen99 - Niveau: B-niveau

Hej Studieportalen, første gang jeg benytter mig af siden.

Jeg har de her to ligninger med brøker hvor y og x er i nævneren, og med hele tal. Jeg skal finde skæringspunktet.

Jeg har brug for hjælp til metoden til at regne på ligningen.

Ligningen er:

I: 8/x-6/y-12=0

II: 6/x-8/y-2=0

Tak for hjælp på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. oktober 2018 af Eksperimentalfysikeren

En enkel metode er at indføre to nye ubekendte u=1/x og v=1/y. Løs ligningerne for u og v og tag de reciprokke værdier.

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Hej CasperHansen99 og velkommen hertil,

$\begin{align*} \frac{8}{x}-\frac{6}{y}-12 &= 0 \\ \frac{6}{x}-\frac{8}{y}-2&=0 \end{align*}$

Ganger vi nu den nederste af de to med $\tfrac{6}{8}$ og trækker den fra den øverste, har vi at

$\begin{align*} 0 &= \frac{8}{x}-\frac{6}{y}-12 - \bigg(\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{6}{y}-\frac{3}{2}\bigg) \\ &= \bigg(8 - \frac{9}{2}\bigg)\frac{1}{x} - \cancel{\frac{6}{y}} + \cancel{\frac{6}{y}} -12 + \frac{3}{2} \\ &= \frac{7}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{21}{2} \\ &\Downarrow \\ x&= \frac{1}{3} \end{align*}$

Ligeledes, hvis vi ganger den nederste af de to med $\tfrac{8}{6}$ og trækker den fra den øverste, har vi at

$\begin{align*} 0 &= \frac{8}{x}-\frac{6}{y}-12 - \bigg(\frac{8}{x}-\frac{32}{3}\cdot\frac{1}{y}-\frac{8}{3}\bigg) \\ &= \cancel{\frac{8}{x}} - \cancel{\frac{8}{x}} - \bigg(\frac{32}{3} - 6\bigg)\frac{1}{y} -12 + \frac{8}{3} \\ &= \frac{14}{3}\cdot\frac{1}{y} - \frac{28}{3} \\ &\Downarrow \\ y&= \frac{1}{2} \end{align*}$

Dermed er $(x,y) = \big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\big)$ ét (men ikke samtlige) skæringspunkt for de to hyperbler.

Svar #3
26. oktober 2018 af CasperHansen99

Tusind tak.

Jeg er desværre lidt forvirret, jeg kan ikke se hvordan du ganger den nederste ligning med de 6/8.

Kan du uddybe det?

Det var en fejl at jeg skulle have svar på B-niveau, hvis det har betydning. Jeg har matematik på C-niveau på HTX lige nu.

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. oktober 2018 af swpply (Slettet)

For at bestemme de sidste skæringpunkt for de hyperbler, begynd med at gange begge ligninger med $xy$

$\begin{align*} \frac{8}{x}-\frac{6}{y} -12 &= 0 \quad\Rightarrow\quad 8y-6x-12xy = 0 \\ \frac{6}{x} - \frac{8}{y}-2 &=0 \quad\Rightarrow\quad 6y-8x-2xy = 0 \end{align*}$

Dermed har du at

$\begin{align*} 8y-6x-12xy = 6y-8x-2xy \quad\Leftrightarrow\quad y+x-5xy = 0 \end{align*}$

og vi indser trivielt at $(x,y) = (0,0)$ er en løsning hertil.

For at kunne slutte at $(x,y) = (0,0)$ også er en løsning til dine ligninger for hyperblerne, er du nød til at betragte dem i grænsen $(x,y)\rightarrow(0,0)$ . Alternativt kan du finde en parameterising af dem og derved vise at $(x,y) = (0,0)$ rent faktisk også er et skæringspunkt.

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. oktober 2018 af swpply (Slettet)

$\begin{align*} \frac{6}{x} - \frac{8}{y} -2 = 0 &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{6}{8}\cdot\bigg(\frac{6}{x} - \frac{8}{y} -2\bigg) = \frac{6}{8}\cdot 0 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{6}{8}\cdot\frac{6}{x} - \frac{6}{\cancel{8}}\cdot\frac{\cancel{8}}{y} - \frac{6}{8}\cdot2 = 0 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{36}{8}\cdot\frac{1}{x} - \frac{6}{y} - \frac{12}{8} = 0 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{9}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{6}{y} - \frac{3}{2} = 0 \end{align*}$

Svar #6
26. oktober 2018 af CasperHansen99

Svar #7
26. oktober 2018 af CasperHansen99

Kan du forklare videre og færdigt som du har gjort i svar 5?

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Du skal bare glemme mit svar i #4, eftersom at der kun er sandt ved at udvide dine ligninger ved at inkludere grænsen $(x,y)\rightarrow(0,0)$ . Hvis du endnu ikke har kendskab til hyperbler og parametriseringer er du formegentligt heler ikke bekendt med grænseværider og dermed at udvide disse ligninger.

Det vil altså være forkert at slutte at $(x,y) = (0,0)$ er et skæringspunkt til dine to ligninger.

Svar #2 giver dig altså skæringspunktet til dine to ligninger og dermed løsningen på din opgave.

Brugbart svar (0)

Svar #9
26. oktober 2018 af Eksperimentalfysikeren

(0,0) kan ikke være løsnig til de oprindelige ligninger, da man ikke kan dividere med 0.

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#7
Kan du forklare videre og færdigt som du har gjort i svar 5?

I #3 spørg du om jeg uddybe hvordan jeg ganger den nederste ligning med 6/8. Det er præcist hvad jeg har gjort i #5. Så nu beder mig om at forklare videre, så ved jeg ikke hvad jeg skal gøre udover hvad jeg har gjort i svar #2 og #5.

Brugbart svar (0)

Svar #11
26. oktober 2018 af Eksperimentalfysikeren

#8 kom mig i forkøbet.

Man kan ud fra #1 se, at der kun kan være én løsning.

Brugbart svar (0)

Svar #12
26. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#11 ja det er korrekt.

For at rode bod på min ugerning vil jeg uddybe mit svar i #8. Ligningerne

$\frac{8}{x} - \frac{6}{y} - 12 = 0\quad\text{og}\quad \frac{6}{x} - \frac{8}{y} - 2 = 0$

beskriver ikke hyberbler. Det er først når man entydigt (kontinuiteten er uniform) udvider dem ved kontinuitet at de beskriver hyberbler. En konsekvens heraf er at de udvidet ligninger altså også skære hinanden i origo.

Brugbart svar (0)

Svar #13
26. oktober 2018 af mathon

kortere:

$\small \begin{array}{lrclll} I\textup{:}&8y-6x&=&12xy\\ II\textup{:}&6y-8x&=&2xy&\textup{multipliceres med -6 }\\\\ I\textup{:}&8y-6x&=&12xy\\ III\textup{:}&-36y+48x&=&-12xy&\textup{I og III adderes}\\\\ &-28y+42x&=&0\\ IV\textup{:}&2y&=&3x&\textup{som indsat i II giver}\\\\ &3\cdot 3x-8x&=&3x\cdot x\\ &3x^2-x&=&0\\ &3x(x-\tfrac{1}{3})&=&0\\ &x&=&\left\{\begin{matrix} 0\\\frac{1}{3} & \end{matrix}\right.&\textup{som indsat i IV giver}\\\\ &y&=&\left\{\begin{matrix} 0\\\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\\\\ \textup{sk\ae ringspunkter:}& \begin{matrix} (0,0)& (\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}) \end{matrix} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
26. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#13 som jeg nævner i #8 og #12 er $(x,y)=(0,0)$ ikke et skæringspunkt for graferne for de to ligninger.

Fejlen er at når du ganger begge ligninger med $xy$ antager du implicit at både $x\neq0$ og $y\neq0$ . Ihvertfald hvis du ønsker at der gælder en biimplikation imellem de oprindelige to ligninger og dine $I$ og $II$ .

Opgaven spørger efter skæringspunktet (idet at der kun er ét) og dette skæringspunkt er $(x,y)=\big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\big)$ .

Brugbart svar (0)

Svar #15
26. oktober 2018 af mathon

...du har ret!

kortere:

$\small \small \small \small \begin{array}{lrclll} \textup{for }x\neq0\quad\wedge\quad y\neq0\\\\ I\textup{:}&8y-6x&=&12xy\\ II\textup{:}&6y-8x&=&2xy&\textup{multipliceres med -6 }\\\\ I\textup{:}&8y-6x&=&12xy\\ III\textup{:}&-36y+48x&=&-12xy&\textup{I og III adderes}\\\\ &-28y+42x&=&0\\ IV\textup{:}&2y&=&3x&\textup{som indsat i II giver}\\\\ &3\cdot 3x-8x&=&3x\cdot x\\ &3x^2-x&=&0\\ &3x(x-\tfrac{1}{3})&=&0\\\\ &x&=&\frac{1}{3} & \textup{som indsat i IV giver}\\\\ &y&=&\frac{1}{2} \\\\ \textup{sk\ae ringspunkt:}& & (\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}) \end{array}$

Svar #16
26. oktober 2018 af CasperHansen99

Tusind tak for svarene og hjælpen.
Forstod det i sidste ende.
Vil da lige give det et forsøg igen senere.
Blev lidt mere oplyst af svar nr. 13, det var sådan en forklaring/opstilling mit hoved skulle bruge:)

Brugbart svar (0)

Svar #17
26. oktober 2018 af mathon

#16

Brug i stedet #15.

Skriv et svar til: Regnemetode af 2 ligninger med 2 ubekendte med brøker og hele tal?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.