Matematik

Bestemme forskriften for andengradspolynomium

28. oktober 2018 af RødeErik (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg har en opgave som driller mig. Niveauet er mat b og der må benyttes hjælpemidler!

Den lyder som følger:

En parabel har toppunkt i punktet P(2,0). Desuden oplyses at Q(-1,-6) er et punkt på parablen.

A) Bestem forskriften for det andengradspolynomium: f(x) = ax² + bx + c , Der har parablem som graf

- Jeg har skrevet formlen ind i Geogebra og herefter forsøgt at bruge værktøjet "Fit", og på den måde definere punkternes koordinater, men jeg kan ikke få det tl at virke!

Om en anden parabel oplyses at den har toppunkt i punktet R(4,8) og skærer x-aksen i S(12,0)

B) Bestem koordinatsættet til det andet skæringspunkt med x-aksen og koordinatsættet til skæringen med y-aksen for denne parabel.

- Hvilket værktøj skal man her bruge for at indtegne en parablen ud fra to punkter?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2018 af MatHFlærer

Start med A).

Udnyt symmetri om toppunktet, så du har faktisk $P(2,0)$ , $Q(-1,-6)$ og $A=(5,-6)$ (ville have brugt R, men det er i opgave B).

Hvor kan jeg finde "fit" henne?

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. oktober 2018 af StoreNord

#0 Til disse opgaver skal du nok bruge noget andet andet end Geogebra. Prøv ligninger.

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober 2018 af MatHFlærer

#2 hvis trådstarter sad til eksamen og sådan en opgave vil komme, så det smart at anvende værktøjer mod at trådstarteren giver en forklaring. Men men men, jeg kan godt se det fra dit synspunkt. Det vil gavne mere at løse ligninger end at bruge værktøjet.

Brugbart svar (1)

Svar #4
28. oktober 2018 af ringstedLC

#1: Hvor kan jeg finde "fit" henne? Skriv "fit" i "Input". Værktøjet laver en tilnærmet funktion over en liste med punkter som vist her:

Vedhæftet fil:Modul04_02 - Vandstråle.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. oktober 2018 af MatHFlærer

#4 Tak! Så blev jeg sgu klogere i dag.

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. oktober 2018 af StoreNord

Jeg vil også gerne være klogere.
Kan du ikke vise et eksempel?

Svar #7
28. oktober 2018 af RødeErik (Slettet)

#1 Tak, men jeg er ikke helt siker på jeg forstår. Er A=(5,-6) forskriften for 2.gradspolynomiet??

- Fit bruges ved at skrive "Fit", i tekstboksen. Så kommer der forskellige "funktioner" frem.

#2 og #3 Hvordan skal jeg formulere ligningen? Jeg kan ikke umiddelbart se mig ud af det, uden på nogen måde at skitsere parablen

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. oktober 2018 af guuoo2 (Slettet)

#7
#1 Tak, men jeg er ikke helt siker på jeg forstår. Er A=(5,-6) forskriften for 2.gradspolynomiet??

A=(5,-6) er et punkt der skal tilhøre grafen for polynomiet. Det kan udtrykkes med ligningen:

f(5) = -6 som er det samme som
a*5² + b*5 + c = -6

men da der er 3 ubekendte, skal der 2 ligninger mere til for at kunne isolere de ubekendte.

Du kan få to ekstra ligninger ved at identificere to andre punkter end A=(5,-6) som grafen går igennem, og opstille tilsvarende ligninger for disse punkter.

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. oktober 2018 af ringstedLC

#0:

$\begin{align*} \left ( T_x,\;T_y \right ) &= \left ( 2,\;0 \right )\;,\; f(x)= a\cdot \left ( x-T_x \right )^2+T_y \\ f(x) &= a\cdot \left ( x-2 \right )^2+0\Downarrow \\ f(x) &= a\cdot \left ( x^2-4x+4 \right )\Downarrow \\ f(-1)= -6 &=a\cdot \left( \left ( -1 \right )^2-4\cdot \left ( -1 \right )+4\right)\Downarrow \\ a &=-\tfrac{2}{3}\Downarrow \\ f(x) &=-\tfrac{2}{3}x^2+bx+c\Downarrow \\ f'(x) &=-\tfrac{2\cdot 2}{3}x+b \\ f'(2)=0 &=-\tfrac{4}{3}\cdot \left ( 2 \right )+b\Downarrow \\ b &=\tfrac{8}{3}\Downarrow \\ f(x) &=-\tfrac{2}{3}x^2+\tfrac{8}{3}x+c\Downarrow \\ f(2)=0 &=-\tfrac{2}{3}\cdot \left ( 2 \right )^2+\tfrac{8}{3}\cdot \left ( 2 \right )+c\Downarrow \\ c &=\tfrac{2\cdot 2^2-8\cdot 2}{3}=-\tfrac{8}{3}\Downarrow \\ f(x) &=-\tfrac{2}{3}x^2+\tfrac{8}{3}x-\tfrac{8}{3} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
28. oktober 2018 af mathon

$\begin{array}{llrclrclrcl} a)&\textup{parablen:}&f(x)&=&ax^2+bx+c\\ &\textup{toppunkt:}&T&=&\left ( x_T;y_T \right )&&=&\left ( x_T\, ;c-a\cdot {x_T}^2 \right )&&=&(2;0)\\ &&x_T&=&\frac{-b}{2a}=2\Leftrightarrow &b&=&-4a\\ &&y_T&=&c-a\cdot 2^2=0\Leftrightarrow &c&=&4a\\ &\textup{hvoraf:}&f(x)&=&ax^2-4ax+4a&\textup{gennem}&(-1,-6) \\ &&-6&=&a\cdot (-1)^2-4a\cdot (-1)+4a\\ &&a&=&-\frac{2}{3}\\\\ &\textup{parablen:}&f(x)&=&-\frac{2}{3}x^2+\frac{8}{3}x-\frac{8}{3} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. oktober 2018 af ringstedLC

#5: Og så på en højhellig søndag...

#6: ".. ,2" i kommandoen er for graden af polynomiet.

Vedhæftet fil:B_M_053 - FitPoly_RødeErik.png

Brugbart svar (0)

Svar #12
28. oktober 2018 af mathon

b)
$\small \textup{Bem\ae rk symmetrien om linjen }x=4$

Brugbart svar (0)

Svar #13
28. oktober 2018 af StoreNord

#11
Tak. Men det er da udenfor kirketiden. :-)
Jeg tillader mig lige at forsimple.

Vedhæftet fil:FitPoly.png

Brugbart svar (0)

Svar #14
28. oktober 2018 af MatHFlærer

Vi er mange der er blevet kloge i dag. Sikke en dejlig dag, og ja, så endda på en søndag :-)

Brugbart svar (0)

Svar #15
01. november 2018 af mathon

b)
$\small \textup{Bem\ae rk symmetrien om linjen }x=4$

skal selvfølgelig være:

b)
$\small \textup{Bem\ae rk symmetrien om linjen }x=\mathbf{2}$

Svar #16
05. november 2018 af RødeErik (Slettet)

Tak for hjælpen alle sammen, Jeg endte med at forstå det og få Geogebra tl at makke ret ;-)

Vedhæftet fil:Andengradspolynom - FitPoly.jpg

Skriv et svar til: Bestemme forskriften for andengradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.