Matematik

Hjælp til differentialligning

31. oktober 2018 af HTXmanden - Niveau: A-niveau

Hej. Jeg har en opgave for og jeg har brug for hjælp. Opgavebeskrivelsen lyder som følgende:

Jeg skal finde ud af om nedenstående

$y(x)=a\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2}$

er løsning til differentialligningen

$a \cdot y''(x)= \sqrt{1+y'(x)^2}$

Tak på forhånd for hjælpen!

Brugbart svar (2)

Svar #1
31. oktober 2018 af peter lind

Find y' og y'' sæt funktionerne ind på venstre og højre side. Hvis de to sider bliver ens er det en løsning.

I øvrigt y(x) =cosh(x/a)

Brugbart svar (2)

Svar #2
31. oktober 2018 af mathon

$\small y{\, }'=\frac{a}{2} \cdot \left ( \tfrac{1}{a}\cdot e^{\frac{x}{a}} -\tfrac{1}{a}e^{-\frac{x}{a}}\right )=\frac{a}{2}\cdot \frac{1}{a}\cdot \left ( e^{\frac{x}{a}}- e^{-\frac{x}{a}} \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{\frac{x}{a}}- e^{-\frac{x}{a}} \right )$

$\small \small y{\, }''=\frac{1}{2}\left ( \tfrac{1}{a}e^{\frac{x}{a}}+ \tfrac{1}{a}e^{-\frac{x}{a}} \right )=\frac{1}{a}\cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
01. november 2018 af mathon

$\small \begin{array}{lrcl} &y{\, }'&=&\frac{e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}}{2}\\\\ &1+\left ( y{\, } ' \right )^2&=&\frac{e^{\frac{2x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}-2+4}{4}\\\\ &1+\left ( y{\, } ' \right )^2&=&\frac{e^{\frac{2x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}+2}{4}\\\\ &1+\left ( y{\, } ' \right )^2&=&\left (\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{ x}{a}}}{2} \right )^2\\\\ &\sqrt{1+\left ( y{\, } ' \right )^2}&=&\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{ x}{a}}}{2}\\\\ \textup{og}&a\cdot y{\, }''&=&\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{ x}{a}}}{2} \\\\ \textup{hvoraf:}&a\cdot y{\, }''&=&\sqrt{1+\left ( y{\, } ' \right )^2} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
01. november 2018 af mathon

$\small \textup{alts\aa \ er }y=a\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2}\textup{ en l\o sning til differentialligningen }a\cdot y{\, ''}=\sqrt{1+\left ({y{\, }'} \right )^2}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. november 2018 af mathon

som lettes meget med henvisningen
i #1
$\small y=a\cdot \cosh\left ( \frac{x}{a} \right )$

$\small \small \begin{array}{lrcl} &y{\, }'&=&\sinh\left ( \frac{x}{a} \right )\\\\ &y{\, }''&=&\tfrac{1}{a}\cdot \cosh\left ( \frac{x}{a} \right )\\\\ &a\cdot y{\, } '' &=&\cosh\left ( \frac{x}{a} \right )\\\\ &a\cdot y{\, } '' &=&\sqrt{1+\sinh^2\left ( \frac{x}{a} \right )}\\\\ &a\cdot y{\, } ''&=&\sqrt{1+\left ( y{\, }' \right )^2} \end{array}$

Svar #6
04. november 2018 af HTXmanden

Mange tak for de brugbare svar! :D

Skriv et svar til: Hjælp til differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.