Matematik

Homogen differentialligning

01. november 2018 af kurtw - Niveau: Universitet/Videregående

Hvad menes der med følgende spørgsmål (se billede), og hvordan besvares det?

Vedhæftet fil: Mat.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. november 2018 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. november 2018 af peter lind

Uendelig mange. Løsningen hat 2 arbitræer konstanter. Betingelsen y'(0) æder den ene; men der er stadig den anden

Svar #3
01. november 2018 af kurtw

Kan du hjælpe mig med at regne "baglæns" på den her type opgave (se billede). Jeg ved at jeg finde den karakteristiske polynomie, men hvordan er jeg lidt lost omkring.

Vedhæftet fil:mat02.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. november 2018 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. november 2018 af peter lind

(a) Rødder i det karakteristiske polynomium er 4 og -1

(b) Prøv at differentiere fuktionen 2 gange og dan en differentialligning ud fra dette. Jeg kan ikke se at det kan lade sig gøre. Problemet er at du også får led med cos(6t).

NB har du et nyt spørgsmål bør du oprette en ny tråd

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. november 2018 af guuoo2

$y(t)=e^{-2 t} \sin (6 t)$

er en løsning hvis for alle t ∈ R

$\\y''(t)+b y'(t)+c y(t)=0$

Og når funktionen indsættes giver det

$e^{-2 t} ((c-2 b-32) \sin (6 t)+6 (b-4) \cos (6 t))=0$

Dvs. b = 4 og c = 40.

Svar #7
02. november 2018 af kurtw

Undskyld, men jeg kan ikke helt forstå hvordan, i finder løsningerne?

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. november 2018 af guuoo2

Kan du ikke se at differentialligningen går op med b = 4 og c = 40?

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. november 2018 af peter lind

Jeg har klokket i den. Rødderne i det karakteristiske polynomium er -2±6i

Svar #10
02. november 2018 af kurtw

Jeg kan godt finde rødderne, men jeg kan ikke opstille hele ligningen.
Jeg går i står når jeg skal finde a_2, a_1 og a_0.
Jeg har vedlagt en PDF-fil som beskriver problemet.
Jeg har skrevet problemet ind i maple, og vedlægger også den fil i næste kommentar.

Vedhæftet fil:Spørgsmål.mw.pdf

Svar #11
02. november 2018 af kurtw

Problemet skrevet ind i maple.

Svar #12
02. november 2018 af kurtw

Jeg kan ikke lægge maple dokumentet op.

Brugbart svar (1)

Svar #13
02. november 2018 af guuoo2

Antag at
$y(t)=3e^{4t} -2e^{-t}$
er en løsning til
$\\y''(t)+b y'(t)+c y(t)=0$

Dermed gælder
   $\\(48e^{4t} -2e^{-t})+b (12e^{4t} +2e^{-t})+c (3e^{4t} -2e^{-t})=0$
gang ud:
   $\\48e^{4t} -2e^{-t}+ 12be^{4t} +2be^{-t}+ 3ce^{4t} -2ce^{-t}=0$
dan nye parenteser:
   $\\ e^{-t}(2b -2c-2)+ e^{4t}(12b +48+ 3c)=0$

Som afslører at du skal vælge b = -3 og c = -4 til
$\\y''(t)+b y'(t)+c y(t)=0$

Brugbart svar (1)

Svar #14
02. november 2018 af peter lind

Du har misforstået opgaven. Jeg tar den første som et eksempel.

Rødderne er 4 og -1 d.vs. du har at det karakteristiske polynomium er

(x-4)(x+1) =x²-3x-4 og den 2. ordens differentialligning er derfor

y''-3y'-4y=0

Slut på opgaven

Svar #15
02. november 2018 af kurtw

Hvordan kan du udelukke at der skal være en konstant (a_2) foran y''(t)?

Svar #16
02. november 2018 af kurtw

Mange tak, det var reglen om (x-rod_1)*(x-rod_2), jeg havde slået helt ud. :)

Brugbart svar (0)

Svar #17
02. november 2018 af guuoo2

#15
Hvordan kan du udelukke at der skal være en konstant (a_2) foran y''(t)?

Det skal være en differentialligning af anden orden, så en sådan konstant kan ikke være 0. Derfor kan du dividerer med konstanten i alle led. Dvs. i stedet for f.eks. 2y''-6y'-8y=0 så divider med 2 til y''-3y'-4y=0.

Svar #18
02. november 2018 af kurtw

Er det forkert husket at fomlen hedder y(t)=a_2(z-rod1)(z-rod2), hvis ja, hvad er der så sket med a_2?

Brugbart svar (1)

Svar #19
02. november 2018 af peter lind

Du husker forkert:

Den karakterististiske ligning er (x-rod1)(x-rod2) =x²-(rod1+rod2)x +rod1*rod2=0

Differentialligningen hedder derfor y''-(rod1+rod2)y' +rod1*rod2=0 og den har løsningerne c₁e^rod1*t + c₂e^rod2*t

Svar #20
02. november 2018 af kurtw

Mange tak for hjælpen - Nu er jeg kommet i mål med alle tre :)

Skriv et svar til: Homogen differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.